Задача №17326

Найдите наименьшее значение функции $y=2^{x^2-4x+5}+{\log }_2(x^2-4x+5)$ на отрезке $[1;4]\text{.}$

Найдём наименьшее значение $y=2^{x^2-4x+5}+{\log }_2(x^2-4x+5)$ на отрезке $[1;4]\text{.}$

1. Введём замену $t=x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1\text{.}$ На отрезке $[1;4]\text{:}$

• $t_{\min }$ достигается при $x=2\text{:}$ $t=1\text{;}$
• $t(1)=1-4+5=2\text{;}$
• $t(4)=16-16+5=5\text{.}$

Значит $t\in [1;5]\text{,}$ причём $t=1$ достигается (при $x=2$).

2. Рассмотрим функцию $h(t)=2^t+{\log }_{2}t$ на отрезке $[1;5]\text{.}$ Найдём её производную:

Функция $h(t)$ строго возрастает, значит, наименьшее значение достигается при $t=t_{\min }=1\text{.}$

3. Найдём итоговое значение:

$h(1)=2^1+{\log }_{2}1=2+0=2\text{.}$

Ответ: 2