Задача №17325

Функция $y=f(x)$ определена на промежутке $(-5;4)\text{.}$ На рисунке изображён график её производной и прямая $l\text{.}$ Найдите число касательных к графику функции $y=f(x)\text{,}$ которые параллельны прямой $l\text{.}$

Касательная к графику $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет угловой коэффициент $f^{\prime }(x_0)\text{.}$ Условие параллельности прямой $l\text{:}$ $f^{\prime }(x_0)=k_l\text{,}$ где $k_l$ — угловой коэффициент прямой $l\text{.}$

Из рисунка видно, что прямая $l$ проходит через точки с координатами $(2;1)$ и $(8;4)\text{,}$ поэтому

Таким образом, нужно найти число точек $x_0\in (-5;4)\text{,}$ в которых $f^{\prime }(x_0)=0,5\text{,}$ то есть число пересечений графика $y=f^{\prime }(x)$ с горизонтальной прямой $y=0,5\text{.}$

Из графика видно, что прямая $y=0,5$ пересекает график $y=f^{\prime }(x)$ ровно 8 раз на промежутке $(-5;4)\text{.}$

Ответ: 8.