Решите неравенство: (_2^2 x - _2(2x^3) + 2)/(_2^2 x - 4) 1 .

Решим неравенство: (_2^2 x - _2(2 x^3) + 2)/(_2^2 x - 4) 1 . ОДЗ: x > 0 . 1. Замена переменной. Пусть t = _2 x . Тогда: - _2^2 x = t^2 ; - _2(2 x^3) = _2 2 + _2 x^3 = 1 + 3t ; - _2^2 x - 4 = t^2 - 4 . Неравенство преобразуется в: (t^2 - (1 + 3t) + 2)/(t^2 - 4) 1, (t^2 - 3t + 1)/(t^2 - 4) 1. 2. Перенесём единицу в левую часть: (t^2 - 3t + 1 - (t^2 - 4))/(t^2 - 4) 0, (5 - 3t)/((t - 2)(t + 2)) 0. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: (3t - 5)/((t - 2)(t + 2)) 0. 3. Метод интервалов. Нули числителя: t = (5)/(3) . Нули знаменателя: t = 2 , t = -2 . Расставим знаки на оси: | Интервал | 3t-5 | t-2 | t+2 | Знак | |---|---|---|---|---| | t < -2 | - | - | - | - | | -2 < t 5/3 | - | - | + | + | | 5/3 < t < 2 | + | - | + | - | | t > 2 | + | + | + | + | Неравенство выполняется при t in (-2; (5)/(3)] U (2; +inf) . 4. Обратная замена. Вернёмся к переменной x : - -2 < _2 x (5)/(3) => 2^(-2) < x 2^(5/3) => (1)/(4) < x 2[3]4 ; - _2 x > 2 => x > 2^2 => x > 4 . Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ x > 0 . Ответ: x in ((1)/(4); 2[3]4] U (4; +inf) .

x ∈ (1/4; 2∛4] ∪ (4; +∞)