Задача №17322

Решите неравенство:
$\frac{{\log }_2^{2}x-{\log }_2(2x^3)+2}{{\log }_2^{2}x-4}⩽1\text{.}$

Решим неравенство:
$\frac{{\log }_2^{2}x-{\log }_2(2x^3)+2}{{\log }_2^{2}x-4}⩽1\text{.}$

ОДЗ: $x>0\text{.}$

1. Замена переменной. Пусть $t={\log }_{2}x\text{.}$ Тогда:

• ${\log }_2^{2}x=t^2\text{;}$
• ${\log }_2(2x^3)={\log }_{2}2+{\log }_2{x}^3=1+3t\text{;}$
• ${\log }_2^{2}x-4=t^2-4\text{.}$

Неравенство преобразуется в:

2. Перенесём единицу в левую часть:

Умножим обе части на $-1\text{,}$ изменив знак неравенства:

3. Метод интервалов. Нули числителя: $t=\frac{5}{3}\text{.}$ Нули знаменателя: $t=2\text{,}$ $t=-2\text{.}$ Расставим знаки на оси:

Неравенство выполняется при $t\in (-2;\frac{5}{3}]\cup (2;+\infty )\text{.}$

4. Обратная замена. Вернёмся к переменной $x\text{:}$

• $-2<{\log }_{2}x⩽\frac{5}{3}\Rightarrow 2^{-2}<x⩽2^{5/3}\Rightarrow \frac{1}{4}<x⩽2\sqrt[3]{4}\text{;}$
• ${\log }_{2}x>2\Rightarrow x>2^2\Rightarrow x>4\text{.}$

Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ $x>0\text{.}$

Ответ: $x\in \left(\frac{1}{4};2\sqrt[3]{4}\right]\cup (4;+\infty )\text{.}$