Найдите значение выражения: 5^(_(1/5) (1)/(2) + _sqrt(2)) (4)/(sqrt(7) + sqrt(3)) + _(1/2) (1)/(10 + 2sqrt(21)) .

Задача №17321: Вычисления и преобразования

Упростим показатели степени по слагаемым.

1. $lo g_{1/5} \frac{1}{2} = lo g_{5} 2$ (так как $lo g_{1/ a} (1/ b) = lo g_{a} b$ ).

2. $lo g_{2} \frac{4}{7 + 3} = 2 lo g_{2} \frac{4}{7 + 3} = 2 (lo g_{2} 4 - lo g_{2} (7 + 3)) = 4 - 2 lo g_{2} (7 + 3) .$

3. $lo g_{1/2} \frac{1}{10 + 2 21} = lo g_{2} (10 + 221) .$ Заметим, что

10 + 221 = 7 + 2 7 \cdot 3 + 3 = (7 + 3)^{2},

поэтому $lo g_{2} (10 + 221) = 2 lo g_{2} (7 + 3) .$

Сумма показателей:

lo g_{5} 2 + (4 - 2 lo g_{2} (7 + 3)) + 2 lo g_{2} (7 + 3) = lo g_{5} 2 + 4.

Итоговое значение:

5^{l o g_{5} 2 + 4} = 5^{l o g_{5} 2} \cdot 5^{4} = 2 \cdot 625 = 1250.

Ответ: 1250