Задача №17320

Найдите наименьшее значение функции $y=12\sin x-6\sqrt{3}x+3\sqrt{3}\pi$ на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Дана функция $y=12\sin x-6\sqrt{3}x+3\sqrt{3}\pi$ на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Найдём производную функции:
$y^{\prime }=12\cos x-6\sqrt{3}\text{.}$

Найдём критические точки, в которых производная равна нулю:

На отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ этому уравнению соответствует единственная точка $x=\frac{\pi }{6}\text{.}$

Определим знаки производной на заданном отрезке:

1. При $0⩽x<\frac{\pi }{6}$ имеем $\cos x>\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ следовательно, $y^{\prime }>0\text{,}$ и функция возрастает.
2. При $\frac{\pi }{6}<x⩽\frac{\pi }{2}$ имеем $\cos x<\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ следовательно, $y^{\prime }<0\text{,}$ и функция убывает.

Таким образом, $x=\frac{\pi }{6}$ является точкой максимума. Наименьшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов.

Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=\frac{\pi }{2}\text{:}$

Сравним полученные значения. Так как $\pi \approx 3,14$ и $\sqrt{3}\approx 1,73\text{,}$ то $3\sqrt{3}\pi \approx 3\cdot 1,73\cdot 3,14\approx 16,3\text{.}$ Следовательно, $3\sqrt{3}\pi >12\text{,}$ и наименьшее значение функции на отрезке равно $12\text{.}$

Ответ: $12\text{.}$