Найдите наименьшее значение функции y = 12sin x - 6sqrt(3)x + 3sqrt(3)pi на отрезке [0; (pi)/(2)] .

Дана функция y = 12sin x - 6sqrt(3)x + 3sqrt(3)pi на отрезке [ 0; (pi)/(2) ] . Найдём производную функции: y' = 12cos x - 6sqrt(3) . Найдём критические точки, в которых производная равна нулю: 12cos x - 6sqrt(3) = 0 <=> cos x = (sqrt(3))/(2). На отрезке [ 0; (pi)/(2) ] этому уравнению соответствует единственная точка x = (pi)/(6) . Определим знаки производной на заданном отрезке: 1. При 0 x < (pi)/(6) имеем cos x > (sqrt(3))/(2) , следовательно, y' > 0 , и функция возрастает. 2. При (pi)/(6) < x (pi)/(2) имеем cos x < (sqrt(3))/(2) , следовательно, y' < 0 , и функция убывает. Таким образом, x = (pi)/(6) является точкой максимума. Наименьшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках x = 0 и x = (pi)/(2) : y(0) = 12sin 0 - 6sqrt(3) * 0 + 3sqrt(3)pi = 3sqrt(3)pi; y((pi)/(2)) = 12sin (pi)/(2) - 6sqrt(3) * (pi)/(2) + 3sqrt(3)pi = 12 * 1 - 3sqrt(3)pi + 3sqrt(3)pi = 12. Сравним полученные значения. Так как pi ~ 3,14 и sqrt(3) ~ 1,73 , то 3sqrt(3)pi ~ 3 * 1,73 * 3,14 ~ 16,3 . Следовательно, 3sqrt(3)pi > 12 , и наименьшее значение функции на отрезке равно 12 . Ответ: 12 .

12