Задача №17319

Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}\text{,}$ если $|\vec{a}|=4\text{,}$ $|\vec{b}|=3\text{,}$ а векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Поскольку $\vec{a}\perp \vec{b}\text{,}$ имеем $\vec{a}\cdot \vec{b}=0\text{.}$

Тогда:
1. $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=16+0+9=25\text{,}$ откуда $|\vec{a}+\vec{b}|=5\text{.}$
2. $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=16-0+9=25\text{,}$ откуда $|\vec{a}-\vec{b}|=5\text{.}$
3. $(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=16-9=7\text{.}$

Косинус угла между векторами:

Ответ: 0,28.