Решите неравенство: _(x^2-4x+5)(4 - |x-2|) _(x^2-4x+5)((3)/(x)) .

Рассмотрим неравенство _(x^2-4x+5)(4 - |x-2|) _(x^2-4x+5)((3)/(x)) . Основание логарифма b(x) = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 . При всех x имеем b(x) 1 , причём b(x) = 1 только при x = 2 . Область допустимых значений (ОДЗ): 1. b(x) != 1 => x != 2 ; 2. 4 - |x-2| > 0 => -2 < x < 6 ; 3. (3)/(x) > 0 => x > 0 . Итоговая ОДЗ: x in (0; 2) U (2; 6) . На ОДЗ основание b(x) > 1 , поэтому логарифмическая функция возрастает и неравенство равносильно: 4 - |x-2| (3)/(x). Рассмотрим два случая. 1. Случай x in (0; 2) . Тогда |x-2| = 2 - x , неравенство принимает вид 2 + x (3)/(x) . Так как x > 0 , имеем: 2x + x^2 3 => x^2 + 2x - 3 0 => (x+3)(x-1) 0 => -3 x 1. Пересечение с интервалом (0; 2) даёт x in (0; 1] . 2. Случай x in (2; 6) . Тогда |x-2| = x - 2 , неравенство принимает вид 6 - x (3)/(x) . Так как x > 0 , имеем: 6x - x^2 3 => x^2 - 6x + 3 0. Корни уравнения x^2 - 6x + 3 = 0 : x = 3 +- sqrt(6) . Неравенство выполнено при x 3 - sqrt(6) или x 3 + sqrt(6) . Приблизительные значения: 3 - sqrt(6) ~ 0,55 и 3 + sqrt(6) ~ 5,45 . Пересечение с интервалом (2; 6) даёт x in [3 + sqrt(6); 6) . Объединяя результаты случаев, получаем: x in (0; 1] U [3 + sqrt(6); 6) . Ответ: (0; 1] U [3 + sqrt(6); 6)

(0; 1] ∪ [3+√6; 6)