Задача №17318

Решите неравенство:
${\log }_{x^2-4x+5}(4-|x-2|)⩽{\log }_{x^2-4x+5}\left(\frac{3}{x}\right)\text{.}$

Рассмотрим неравенство
${\log }_{x^2-4x+5}(4-|x-2|)⩽{\log }_{x^2-4x+5}\left(\frac{3}{x}\right)\text{.}$

Основание логарифма $b(x)=x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1\text{.}$ При всех $x$ имеем $b(x)⩾1\text{,}$ причём $b(x)=1$ только при $x=2\text{.}$

Область допустимых значений (ОДЗ):
1. $b(x)\ne 1\Rightarrow x\ne 2\text{;}$
2. $4-|x-2|>0\Rightarrow -2<x<6\text{;}$
3. $\frac{3}{x}>0\Rightarrow x>0\text{.}$

Итоговая ОДЗ: $x\in (0;2)\cup (2;6)\text{.}$

На ОДЗ основание $b(x)>1\text{,}$ поэтому логарифмическая функция возрастает и неравенство равносильно:

Рассмотрим два случая.

1. Случай $x\in (0;2)\text{.}$
Тогда $|x-2|=2-x\text{,}$ неравенство принимает вид $2+x⩽\frac{3}{x}\text{.}$ Так как $x>0\text{,}$ имеем:

Пересечение с интервалом $(0;2)$ даёт $x\in (0;1]\text{.}$

2. Случай $x\in (2;6)\text{.}$
Тогда $|x-2|=x-2\text{,}$ неравенство принимает вид $6-x⩽\frac{3}{x}\text{.}$ Так как $x>0\text{,}$ имеем:

Корни уравнения $x^2-6x+3=0\text{:}$ $x=3\pm \sqrt{6}\text{.}$ Неравенство выполнено при $x⩽3-\sqrt{6}$ или $x⩾3+\sqrt{6}\text{.}$
Приблизительные значения: $3-\sqrt{6}\approx 0,55$ и $3+\sqrt{6}\approx 5,45\text{.}$ Пересечение с интервалом $(2;6)$ даёт $x\in [3+\sqrt{6};6)\text{.}$

Объединяя результаты случаев, получаем: $x\in (0;1]\cup [3+\sqrt{6};6)\text{.}$

Ответ:
$(0;1]\cup [3+\sqrt{6};6)$