В треугольнике ABC проведена медиана AM . На продолжении медианы AM за точку M отложена точка D так, что AM = MD . На отрезке CD взята точка P так, что CP : PD = 1 : 2 . Прямая BP пересекает прямую AC в точке E , а прямую AD — в точке O . Прямая CO пересекает прямую AB в точке K . а) Докажите, что AK : KB = 3 : 1 . б) Найдите площадь треугольника KOE , если известно, что площадь треугольника ABC равна 160 .

Запишем точки векторно с произвольным началом: A, B, C . M = (B+C)/(2), D = 2M - A = B + C - A. Четырёхугольник ABDC — параллелограмм, так как M — середина и BC , и AD . Значит, AB CD и |AB| = |CD| . Точка P на CD с условием CP : PD = 1 : 2 : P = C + (1)/(3)(D - C) = C + (1)/(3)(B - A) = -(A)/(3) + (B)/(3) + C. а) Доказательство AK : KB = 3 : 1 . Точка O — пересечение прямых BP и AD . Прямая BP : r = B + t(P - B) = -(tA)/(3) + (1 - (2t)/(3))B + tC . Прямая AD : r = A + s(D - A) = (1 - 2s)A + sB + sC . Из равенства коэффициентов при C следует, что t = s . Из коэффициента при A : -(t)/(3) = 1 - 2s => t = (3)/(5). Следовательно: O = -(A)/(5) + (3B)/(5) + (3C)/(5). Точка K — пересечение прямой CO с прямой AB . Прямая CO : r = C + u(O - C) = -(uA)/(5) + (3uB)/(5) + (1 - (2u)/(5))C . Прямая AB задаётся точками с нулевым коэффициентом при C : 1 - (2u)/(5) = 0 => u = (5)/(2). Тогда: K = -(A)/(2) + (3B)/(2). Значит, K = A + (3)/(2)(B - A) , то есть K лежит на луче AB за точкой B , причём AK = (3)/(2)AB и KB = -(1)/(2)AB . Получаем: (AK)/(KB) = (3/2)/(1/2) = 3 : 1. Что и требовалось доказать. б) Площадь треугольника KOE . Точка E — пересечение BP с AC . На прямой BP коэффициент при B равен нулю: 1 - (2t)/(3) = 0 => t = (3)/(2). E = -(A)/(2) + (3C)/(2). Барицентрические координаты относительно A, B, C : K = (-(1)/(2);(3)/(2);0) , O = (-(1)/(5);(3)/(5);(3)/(5)) , E = (-(1)/(2);0;(3)/(2)) . Площадь относительно S_(ABC) вычисляется как модуль определителя барицентрических координат: (S_(KOE))/(S_(ABC)) = | pmatrix -1/2 & 3/2 & 0 -1/5 & 3/5 & 3/5 -1/2 & 0 & 3/2 pmatrix |. Раскрываем определитель по первой строке: = -(1)/(2) ((3)/(5) * (3)/(2) - 0) - (3)/(2) (-(1)/(5) * (3)/(2) - (3)/(5) * (-(1)/(2))) + 0 = = -(1)/(2) * (9)/(10) - (3)/(2) * 0 = -(9)/(20). Тогда площадь равна: S_(KOE) = (9)/(20) * 160 = 72. Ответ: 72

72