Задача №17316

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM\text{.}$ На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложена точка $D$ так, что $AM=MD\text{.}$
На отрезке $CD$ взята точка $P$ так, что $CP:PD=1:2\text{.}$ Прямая $BP$ пересекает прямую $AC$ в точке $E\text{,}$ а прямую $AD$ — в точке $O\text{.}$ Прямая $CO$ пересекает прямую $AB$ в точке $K\text{.}$

а) Докажите, что $AK:KB=3:1\text{.}$
б) Найдите площадь треугольника $KOE\text{,}$ если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна $160\text{.}$

Запишем точки векторно с произвольным началом: $\vec{A},\vec{B},\vec{C}\text{.}$

$$M=\frac{B+C}{2},D=2M-A=B+C-A.$$

Четырёхугольник $ABDC$ — параллелограмм, так как $M$ — середина и $BC\text{,}$ и $AD\text{.}$ Значит, $AB\parallel CD$ и $|AB|=|CD|\text{.}$

Точка $P$ на $CD$ с условием $CP:PD=1:2\text{:}$

$$P=C+\frac{1}{3}(D-C)=C+\frac{1}{3}(B-A)=-\frac{A}{3}+\frac{B}{3}+C.$$

а) Доказательство $AK:KB=3:1\text{.}$

Точка $O$ — пересечение прямых $BP$ и $AD\text{.}$

Прямая $BP\text{:}$ $r=B+t(P-B)=-\frac{tA}{3}+\left(1-\frac{2t}{3}\right)B+tC\text{.}$
Прямая $AD\text{:}$ $r=A+s(D-A)=(1-2s)A+sB+sC\text{.}$

Из равенства коэффициентов при $C$ следует, что $t=s\text{.}$ Из коэффициента при $A\text{:}$

$$-\frac{t}{3}=1-2s\Rightarrow t=\frac{3}{5}.$$

Следовательно:

$$O=-\frac{A}{5}+\frac{3B}{5}+\frac{3C}{5}.$$

Точка $K$ — пересечение прямой $CO$ с прямой $AB\text{.}$

Прямая $CO\text{:}$ $r=C+u(O-C)=-\frac{uA}{5}+\frac{3uB}{5}+\left(1-\frac{2u}{5}\right)C\text{.}$
Прямая $AB$ задаётся точками с нулевым коэффициентом при $C\text{:}$

$$1-\frac{2u}{5}=0\Rightarrow u=\frac{5}{2}.$$

Тогда:

$$K=-\frac{A}{2}+\frac{3B}{2}.$$

Значит, $K=A+\frac{3}{2}(B-A)\text{,}$ то есть $K$ лежит на луче $AB$ за точкой $B\text{,}$ причём $\overrightarrow{AK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{KB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\text{.}$ Получаем:

$$\frac{AK}{KB}=\frac{3/2}{1/2}=3:1.$$

Что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника $KOE\text{.}$

Точка $E$ — пересечение $BP$ с $AC\text{.}$ На прямой $BP$ коэффициент при $B$ равен нулю:

$$1-\frac{2t}{3}=0\Rightarrow t=\frac{3}{2}.$$ $$E=-\frac{A}{2}+\frac{3C}{2}.$$

Барицентрические координаты относительно $A,B,C\text{:}$
$K=\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2};0\right)\text{,}$ $O=\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5};\frac{3}{5}\right)\text{,}$ $E=\left(-\frac{1}{2};0;\frac{3}{2}\right)\text{.}$

Площадь относительно $S_{ABC}$ вычисляется как модуль определителя барицентрических координат:

$$\frac{S_{KOE}}{S_{ABC}}=\left|\det \left(\begin{array}{ccc}-1/2& 3/2& 0\\ -1/5& 3/5& 3/5\\ -1/2& 0& 3/2\end{array}\right)\right|.$$

Раскрываем определитель по первой строке:

$$\det =-\frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{2}-0\right)-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}-\frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right)+0=$$ $$=-\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{10}-\frac{3}{2}\cdot 0=-\frac{9}{20}.$$

Тогда площадь равна:

$$S_{KOE}=\frac{9}{20}\cdot 160=72.$$

Ответ: 72