Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
а) Решите уравнение
log−sinx(4sin2x−3sin2x−2cos2x)=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[−3π;−23π].
а) ОДЗ:
−sinx>0, −sinx=1, 4sin2x−3sin2x−2cos2x>0.
То есть sinx<0 и sinx=−1.
По определению логарифма:
4sin2x−3sin2x−2cos2x=1.Используя формулы понижения степени sin2x=21−cos2x, cos2x=21+cos2x и синуса двойного угла sin2x=2sinxcosx:
2(1−cos2x)−3sin2x−(1+cos2x)=1; 2−2cos2x−3sin2x−1−cos2x=1; −3cos2x−3sin2x=0; 3sin2x+3cos2x=0⇒tg2x=−3.Откуда
2x=−3π+πn,x=−6π+2πn,n∈Z.Теперь учтём ОДЗ (sinx<0). Перебирая четыре подсерии за полный период 2π:
1. n=0: x=−6π, sinx=−21<0. Подходит.
2. n=1: x=3π, sinx>0. Не подходит.
3. n=2: x=65π, sinx>0. Не подходит.
4. n=3: x=34π, sinx=−23<0. Подходит.
Значения sinx=−1 выполнены автоматически для найденных серий.
Получаем:
x=−6π+2πk или x=−32π+2πk, где k∈Z.
б) Найдём все корни уравнения, принадлежащие отрезку [−3π;−23π].
Серия 1: x=−6π+2πk.
При k=−1: x=−6π−2π=−613π∈[−3π;−23π].
Серия 2: x=−32π+2πk.
При k=−1: x=−32π−2π=−38π∈[−3π;−23π].
Ответ:
а) −6π+2πk; −32π+2πk, k∈Z
б) −38π; −613π