В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 2. На ребре EE1 отмечена точка L так, что EL:LE1=3:1. Плоскость α проходит через точки A и L, составляет с плоскостью основания угол, равный arctg21, пересекает ребро DD1 и не содержит точку C.
а) Докажите, что плоскость α проходит через точку D1.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α.
Введём систему координат: центр шестиугольника основания — начало, ребро призмы 2. Тогда
A(2;0;0), B(1;3;0), C(−1;3;0), D(−2;0;0), E(−1;−3;0), F(1;−3;0),верхняя грань получается сдвигом на (0;0;2). Точка L на EE1 с EL:LE1=3:1, то есть L(−1;−3;23).
а) Доказательство.
Уравнение плоскости α запишем в виде z=px+qy+r. Плоскость не вертикальна, так как пересекает DD1 во внутренней точке отрезка. Угол α с основанием равен arctg21, поэтому
p2+q2=21⇔p2+q2=41.Подставим точки A и L:
1. Из A: 0=2p+r⇒r=−2p.
2. Из L: 23=−p−q3+r=−3p−q3⇒3p+q3=−23, то есть p+3q=−21.
Прямая DD1: x=−2, y=0, z∈[0;2]. Точка пересечения с α имеет аппликату z=−2p+r=−4p. Чтобы плоскость не содержала точку C(−1;3;0) и пересекала DD1 во внутренней точке или верхней вершине, проверим z=2:
−4p=2⇒p=−21.Тогда из соотношения p+3q=−21 получаем q=0, и p2+q2=41 выполнено. Так что уравнение плоскости:
α:z=−2x+1,илиx+2z=2.Проверка: для D1(−2;0;2) имеем −2+4=2 — точка лежит в α. Точка C(−1;3;0): −1+0=−1=2 — не лежит, условие выполнено. Угол с основанием arctg21 выполнен (нормаль (1;0;2), tgугла=21).
Таким образом, плоскость α проходит через D1.
б) Расстояние от C до α.
Уравнение α в виде x+2z−2=0. Нормаль n=(1;0;2), ∣n∣=5. Расстояние:
ρ(C;α)=5∣xC+2zC−2∣=5∣−1+0−2∣=53=535.Ответ:
б) 535.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин