В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 2. На ребре EE_1 отмечена точка L так, что EL : LE_1 = 3 : 1 . Плоскость alpha проходит через точки A и L , составляет с плоскостью основания угол, равный arctg (1)/(2) , пересекает ребро DD_1 и не содержит точку C . а) Докажите, что плоскость alpha проходит через точку D_1 . б) Найдите расстояние от точки C до плоскости alpha .

Введём систему координат: центр шестиугольника основания — начало, ребро призмы 2. Тогда A(2; 0; 0), B(1; sqrt(3); 0), C(-1; sqrt(3); 0), D(-2; 0; 0), E(-1; -sqrt(3); 0), F(1; -sqrt(3); 0), верхняя грань получается сдвигом на (0; 0; 2) . Точка L на EE_1 с EL : LE_1 = 3 : 1 , то есть L(-1; -sqrt(3); (3)/(2)) . а) Доказательство. Уравнение плоскости alpha запишем в виде z = px + qy + r . Плоскость не вертикальна, так как пересекает DD_1 во внутренней точке отрезка. Угол alpha с основанием равен arctg (1)/(2) , поэтому sqrt(p^2 + q^2) = (1)/(2) <=> p^2 + q^2 = (1)/(4). Подставим точки A и L : 1. Из A : 0 = 2p + r => r = -2p . 2. Из L : (3)/(2) = -p - qsqrt(3) + r = -3p - qsqrt(3) => 3p + qsqrt(3) = -(3)/(2) , то есть p + (q)/(sqrt(3)) = -(1)/(2) . Прямая DD_1 : x = -2 , y = 0 , z in [0; 2] . Точка пересечения с alpha имеет аппликату z = -2p + r = -4p . Чтобы плоскость не содержала точку C(-1; sqrt(3); 0) и пересекала DD_1 во внутренней точке или верхней вершине, проверим z = 2 : -4p = 2 => p = -(1)/(2). Тогда из соотношения p + (q)/(sqrt(3)) = -(1)/(2) получаем q = 0 , и p^2 + q^2 = (1)/(4) выполнено. Так что уравнение плоскости: alpha: z = -(x)/(2) + 1, или x + 2z = 2. Проверка: для D_1(-2; 0; 2) имеем -2 + 4 = 2 — точка лежит в alpha . Точка C(-1; sqrt(3); 0) : -1 + 0 = -1 != 2 — не лежит, условие выполнено. Угол с основанием arctg (1)/(2) выполнен (нормаль (1; 0; 2) , tg угла = (1)/(2) ). Таким образом, плоскость alpha проходит через D_1 . б) Расстояние от C до alpha . Уравнение alpha в виде x + 2z - 2 = 0 . Нормаль n = (1; 0; 2) , |n| = sqrt(5) . Расстояние: (C; alpha) = (|x_C + 2z_C - 2|)/(sqrt(5)) = (|-1 + 0 - 2|)/(sqrt(5)) = (3)/(sqrt(5)) = (3sqrt(5))/(5). Ответ: б) (3sqrt(5))/(5) .

3√5 / 5