Задача №17308

По кругу расставили
$N$ попарно различных натуральных чисел. Известно, что сумма любых трёх подряд идущих чисел делится на $5\text{,}$ а сумма любых четырёх подряд идущих чисел делится на $7\text{.}$

а) Может ли $N$ быть равным $2026\text{?}$
б) Может ли $N$ быть равным $10\text{,}$ если известно, что ни одно из чисел не превосходит $100\text{?}$
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех расставленных чисел, если $N=10\text{?}$

Пусть числа $a_1,a_2,\dots ,a_N$ расставлены по кругу, индексы рассматриваются по модулю $N\text{.}$

Заметим, что из условия следуют два свойства:

1. Сумма любых трёх подряд идущих чисел делится на $5\text{:}$

$$a_i+a_{i+1}+a_{i+2}\equiv 0(\mathrm{mod}5).$$

Сдвинув индекс на $1\text{,}$ получим $a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}\equiv 0(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Вычитая первое уравнение из второго, имеем $a_{i+3}\equiv a_i(\mathrm{mod}5)\text{.}$

2. Сумма любых четырёх подряд идущих чисел делится на $7\text{:}$

$$a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}\equiv 0(\mathrm{mod}7).$$

Аналогично, сдвиг индекса даёт $a_{i+4}\equiv a_i(\mathrm{mod}7)\text{.}$

а) Рассмотрим случай $N=2026\text{.}$

Так как $\gcd (3;2026)=1\text{,}$ соотношение $a_{i+3}\equiv a_i(\mathrm{mod}5)$ при последовательном применении для всех $i$ означает, что остатки всех чисел при делении на $5$ одинаковы. Тогда из $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}\equiv 3a_i\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ следует, что $a_i\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ для всех $i\text{.}$

Так как $\gcd (4;2026)=2\text{,}$ остатки $a_i(\mathrm{mod}7)$ могут зависеть от чётности индекса $i\text{.}$

Если мы выберем все числа кратными $35\text{,}$ то условия делимости сумм на $5$ и на $7$ будут выполнены автоматически. В качестве примера можно взять $a_i=35i$ для $i=1,2,\dots ,2026\text{.}$ Все числа натуральные и попарно различные.

Да, может.

б) Пусть $N=10$ и числа не превосходят $100\text{.}$

Поскольку $\gcd (3;10)=1\text{,}$ из $a_{i+3}\equiv a_i(\mathrm{mod}5)$ следует, что все $a_i$ имеют один и тот же остаток при делении на $5\text{.}$ Из условия суммы трёх следует, что этот остаток равен $0\text{.}$ Таким образом, все числа кратны $5\text{.}$

Поскольку $\gcd (4;10)=2\text{,}$ из $a_{i+4}\equiv a_i(\mathrm{mod}7)$ следует, что остатки по модулю $7$ зависят от чётности индекса. Обозначим остаток для чётных индексов $r_e\text{,}$ а для нечётных - $r_o\text{.}$

Условие делимости суммы четырёх подряд идущих чисел на $7$ даёт:

$$(r_e+r_o)+(r_e+r_o)\equiv 2(r_e+r_o)\equiv 0(\mathrm{mod}7)\Rightarrow r_e+r_o\equiv 0(\mathrm{mod}7).$$

Подсчитаем количество чисел, кратных $5\text{,}$ в диапазоне от $1$ до $100$ для каждого остатка по модулю $7\text{:}$

При $N=10$ у нас есть $5$ чисел с чётными индексами и $5$ с нечётными. Чтобы составить группу из $5$ различных чисел с одинаковым остатком по модулю $7\text{,}$ в соответствующей строке таблицы должно быть не менее $5$ чисел. Однако в таблице нет ни одного остатка, которому соответствовало бы $5$ чисел. Даже если $r_e=r_o=0\text{,}$ чисел с остатком $0$ всего два, чего недостаточно для $10$ различных позиций.

Значит, $N$ не может быть равным $10$ при данных ограничениях.

в) Для $N=10$ без ограничения сверху, числа должны быть кратны $5$ и $r_e+r_o\equiv 0(\mathrm{mod}7)\text{.}$

Числа, кратные $5$ и имеющие фиксированный остаток $r$ по модулю $7\text{,}$ образуют арифметическую прогрессию с шагом $35\text{.}$

1. Если $r_e=r_o=0\text{,}$ то все $10$ чисел кратны $35\text{.}$ Их минимальная сумма:

$$35\cdot (1+2+\cdots +10)=35\cdot 55=1925.$$

2. Если $r_e\ne 0\text{,}$ рассмотрим возможные пары остатков $(r_e;r_o)\text{:}$

• Пара $(1;6)\text{:}$
  Чётный класс (остаток $1$): $15,50,85,120,155\text{.}$ Сумма: $425\text{.}$
  Нечётный класс (остаток $6$): $20,55,90,125,160\text{.}$ Сумма: $450\text{.}$
  Общая сумма: $425+450=875\text{.}$

• Пара $(2;5)\text{:}$
  Чётный класс (остаток $2$): $30,65,100,135,170\text{.}$ Сумма: $500\text{.}$
  Нечётный класс (остаток $5$): $5,40,75,110,145\text{.}$ Сумма: $375\text{.}$
  Общая сумма: $500+375=875\text{.}$

• Пара $(3;4)\text{:}$
  Чётный класс (остаток $3$): $10,45,80,115,150\text{.}$ Сумма: $400\text{.}$
  Нечётный класс (остаток $4$): $25,60,95,130,165\text{.}$ Сумма: $475\text{.}$
  Общая сумма: $400+475=875\text{.}$

Во всех случаях с $r\ne 0$ минимальная сумма составляет $875\text{.}$

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 875