Две окружности _1 и _2 с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках P и Q . Прямая, проходящая через точку P , пересекает окружность _1 в точке A , а окружность _2 — в точке B . Прямая, проходящая через точку Q параллельно AB , пересекает _1 и _2 в точках C и D соответственно. а) Пусть H_1 и H_2 — ортоцентры треугольников AQC и BQD соответственно. Докажите, что H_1 H_2 = 2 O_1 O_2 . б) Найдите площадь четырёхугольника ACDB , если известно, что радиусы окружностей равны 13 и 15, расстояние между центрами окружностей равно 14, а прямая AB параллельна линии центров.

а) Доказательство H_1H_2 = 2O_1O_2 . Введём систему координат так, что O_1O_2 лежит на оси Ox . Пусть P = (m, h) , тогда из симметрии относительно O_1O_2 точка Q = (m, -h) . Хорда AP в окружности _1 параллельна O_1O_2 , то есть горизонтальна. По свойству хорды, перпендикуляр из центра делит её пополам, поэтому x -координата середины AP равна x -координате O_1 . Если O_1 = (0, 0) , то A = (-m, h) . Аналогично C = (-m, -h) — образ Q при отражении относительно перпендикуляра из O_1 к хорде CQ . Подобно для _2 с центром O_2 = (d, 0) : середина BP имеет x = d , значит B = (2d - m, h) , и D = (2d - m, -h) . Теперь рассмотрим треугольник AQC . Имеем A = (-m, h) , C = (-m, -h) , Q = (m, -h) . Сторона AC вертикальна ( x = -m ), сторона QC горизонтальна ( y = -h ), значит угол C — прямой. Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла, поэтому H_1 = C . Аналогично, в треугольнике BQD прямой угол в D , и H_2 = D . Тогда H_1H_2 = |x_D - x_C| = |(2d - m) - (-m)| = 2d = 2O_1O_2. б) Площадь четырёхугольника ACDB . Из построения видно, что ACDB — прямоугольник: стороны AC и BD вертикальны ( AC = BD = 2h ), стороны AB и CD горизонтальны ( AB = CD = 2d ). Поэтому S_(ACDB) = 2h * 2d = 4dh. Найдём d и h по данным. Радиусы R_1 = 13 , R_2 = 15 , d = O_1O_2 = 14 . Точка M = (m, 0) — основание перпендикуляра PQ к O_1O_2 . По стандартной формуле m = O_1M = (R_1^2 - R_2^2 + d^2)/(2d) = (169 - 225 + 196)/(28) = (140)/(28) = 5. Тогда h^2 = R_1^2 - m^2 = 169 - 25 = 144 , h = 12 . Проверка: R_2^2 - (d - m)^2 = 225 - 81 = 144 — то же значение. Итого S_(ACDB) = 4 * 14 * 12 = 672. Ответ: S_(ACDB) = 672 .

672