Задача №17305

Две окружности ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q\text{.}$ Прямая, проходящая через точку $P\text{,}$ пересекает окружность ${\omega }_1$ в точке $A\text{,}$ а окружность ${\omega }_2$ — в точке $B\text{.}$ Прямая, проходящая через точку $Q$ параллельно $AB\text{,}$ пересекает ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ в точках $C$ и $D$ соответственно.

а) Пусть $H_1$ и $H_2$ — ортоцентры треугольников $AQC$ и $BQD$ соответственно. Докажите, что $H_1{H}_2=2O_1{O}_2\text{.}$
б) Найдите площадь четырёхугольника $ACDB\text{,}$ если известно, что радиусы окружностей равны 13 и 15, расстояние между центрами окружностей равно 14, а прямая $AB$ параллельна линии центров.

а) Доказательство $H_1{H}_2=2O_1{O}_2\text{.}$

Введём систему координат так, что $O_1{O}_2$ лежит на оси $Ox\text{.}$ Пусть $P=(m,h)\text{,}$ тогда из симметрии относительно $O_1{O}_2$ точка $Q=(m,-h)\text{.}$

Хорда $AP$ в окружности ${\omega }_1$ параллельна $O_1{O}_2\text{,}$ то есть горизонтальна. По свойству хорды, перпендикуляр из центра делит её пополам, поэтому $x$-координата середины $AP$ равна $x$-координате $O_1\text{.}$ Если $O_1=(0,0)\text{,}$ то $A=(-m,h)\text{.}$ Аналогично $C=(-m,-h)$ — образ $Q$ при отражении относительно перпендикуляра из $O_1$ к хорде $CQ\text{.}$

Подобно для ${\omega }_2$ с центром $O_2=(d,0)\text{:}$ середина $BP$ имеет $x=d\text{,}$ значит $B=(2d-m,h)\text{,}$ и $D=(2d-m,-h)\text{.}$

Теперь рассмотрим треугольник $AQC\text{.}$ Имеем $A=(-m,h)\text{,}$ $C=(-m,-h)\text{,}$ $Q=(m,-h)\text{.}$ Сторона $AC$ вертикальна ($x=-m$), сторона $QC$ горизонтальна ($y=-h$), значит угол $C$ — прямой. Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла, поэтому $H_1=C\text{.}$ Аналогично, в треугольнике $BQD$ прямой угол в $D\text{,}$ и $H_2=D\text{.}$

Тогда

$$H_1{H}_2=|x_D-x_C|=|(2d-m)-(-m)|=2d=2O_1{O}_2.$$

б) Площадь четырёхугольника $ACDB\text{.}$

Из построения видно, что $ACDB$ — прямоугольник: стороны $AC$ и $BD$ вертикальны ($AC=BD=2h$), стороны $AB$ и $CD$ горизонтальны ($AB=CD=2d$). Поэтому

$$S_{ACDB}=2h\cdot 2d=4dh.$$

Найдём $d$ и $h$ по данным. Радиусы $R_1=13\text{,}$ $R_2=15\text{,}$ $d=O_1{O}_2=14\text{.}$ Точка $M=(m,0)$ — основание перпендикуляра $PQ$ к $O_1{O}_2\text{.}$ По стандартной формуле

$$m=O_{1}M=\frac{R_1^2-R_2^2+d^2}{2d}=\frac{169-225+196}{28}=\frac{140}{28}=5.$$

Тогда $h^2=R_1^2-m^2=169-25=144\text{,}$ $h=12\text{.}$ Проверка: $R_2^2-(d-m{)}^2=225-81=144$ — то же значение.

Итого

$$S_{ACDB}=4\cdot 14\cdot 12=672.$$

Ответ: $S_{ACDB}=672\text{.}$