Задача №17304

Даны два единичных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}\text{.}$ Известно, что векторы $\vec{p}=\vec{a}+2\vec{b}$ и $\vec{q}=5\vec{a}-4\vec{b}$ взаимно перпендикулярны. Найдите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в градусах.

Даны единичные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$), причём $\vec{p}=\vec{a}+2\vec{b}$ и $\vec{q}=5\vec{a}-4\vec{b}$ взаимно перпендикулярны.

Запишем условие перпендикулярности $\vec{p}\cdot \vec{q}=0\text{:}$

Так как ${\vec{a}}^2={\vec{b}}^2=1\text{,}$ получаем:

По определению скалярного произведения

Значит $\cos \phi =\frac{1}{2}\text{,}$ откуда $\phi =60^{\circ }\text{.}$

Ответ: 60.