Найдите значение выражения _2((16sin 106^)/(cos 37^ * cos 53^)) .

Задача №17300: Вычисления и преобразования

Найдите значение выражения $lo g_{2} (\frac{16 sin 10 6 ^{\circ}}{cos 3 7 ^{\circ} \cdot cos 5 3 ^{\circ}}) .$

Вычислим аргумент логарифма.

Заметим, что $cos 5 3^{\circ} = cos (9 0^{\circ} - 3 7^{\circ}) = sin 3 7^{\circ},$ значит

cos 3 7^{\circ} \cdot cos 5 3^{\circ} = cos 3 7^{\circ} \cdot sin 3 7^{\circ} = \frac{1}{2} sin 7 4^{\circ} .

Кроме того, $sin 10 6^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 7 4^{\circ}) = sin 7 4^{\circ} .$

Тогда:

\frac{16 sin 10 6 ^{\circ}}{cos 3 7 ^{\circ} \cdot cos 5 3 ^{\circ}} = \frac{16 sin 7 4 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 7 4 ^{\circ}} = 32.

Следовательно:

lo g_{2} 32 = 5.

Ответ: $5 .$