В пирамиде SABCD основанием является прямоугольник ABCD ( AB < AD ), а все боковые рёбра пирамиды равны. Из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD . а) Докажите, что AHC = 90^ . б) Найдите объём пирамиды, если HA = 3sqrt(2) , HC = sqrt(82) , а площадь основания пирамиды равна 48.

а) Доказательство. Так как все боковые рёбра пирамиды равны ( SA = SB = SC = SD ), вершина S проектируется в центр описанной около основания ABCD окружности. Для прямоугольника это точка пересечения диагоналей O — центр прямоугольника. Введём координаты: A = (0, 0, 0) , B = (a, 0, 0) , C = (a, b, 0) , D = (0, b, 0) , S = (a/2,b/2,h) , где a = AB , b = AD , a < b . Плоскость (SAD) содержит точки A , D , S — её нормаль: n = AD * AS = (bh,0,-ab/2). Точка H — основание перпендикуляра из B на (SAD) : H = B - (AB * n)/(|n|^2)n. Имеем AB * n = abh , |n|^2 = b^2(h^2 + a^2/4) . Пусть K = h^2 + a^2/4 . Получим: H = ((a^3)/(4K),0,(a^2 h)/(2K)). Тогда: HA = -H = (-(a^3)/(4K),0,-(a^2 h)/(2K)), HC = C - H = ((a h^2)/(K),b,-(a^2 h)/(2K)). Скалярное произведение: HA * HC = -(a^3)/(4K) * (a h^2)/(K) + 0 + (-(a^2 h)/(2K))(-(a^2 h)/(2K)) = -(a^4 h^2)/(4K^2) + (a^4 h^2)/(4K^2) = 0. Значит, HA HC , то есть AHC = 90^ , что и требовалось доказать. б) Объём пирамиды. Из вычислений выше: |HA|^2 = (a^6)/(16K^2) + (a^4 h^2)/(4K^2) = (a^4(a^2 + 4h^2))/(16 K^2). Так как K = (4h^2 + a^2)/4 , то K^2 = (4h^2 + a^2)^2/16 , и получим: |HA|^2 = (a^4)/(4h^2 + a^2) = 18. Аналогично: |HC|^2 = (a^2 h^4)/(K^2) + b^2 + (a^4 h^2)/(4K^2) = (a^2 h^2)/(K) + b^2 = (4 a^2 h^2)/(4h^2 + a^2) + b^2 = 82. Площадь основания ab = 48 , откуда b = 48/a . Из первого уравнения a^4 = 18(a^2 + 4h^2) , откуда h^2 = (a^4 - 18 a^2)/(72) . Подставим во второе: (4 a^2 h^2)/(4h^2 + a^2) + (2304)/(a^2) = 82. Заметим, что 4h^2 + a^2 = a^4/18 , значит (4 a^2 h^2)/(4h^2 + a^2) = (4 a^2 h^2 * 18)/(a^4) = (72 h^2)/(a^2). Получаем: (72 h^2 + 2304)/(a^2) = 82 =>36 h^2 + 1152 = 41 a^2. С учётом h^2 = (a^4 - 18 a^2)/(72) : 36 * (a^4 - 18 a^2)/(72) + 1152 = 41 a^2 =>(a^4 - 18 a^2)/(2) + 1152 = 41 a^2, a^4 - 18 a^2 + 2304 = 82 a^2 =>a^4 - 100 a^2 + 2304 = 0. Замена t = a^2 : t^2 - 100 t + 2304 = 0 , D = 10000 - 9216 = 784 , sqrt(D) = 28 . t = (100 +- 28)/(2) in 64,36. По условию AB < AD , то есть a < b = 48/a , значит a^2 < 48 . Подходит t = 36 , a = 6 , b = 8 . Тогда h^2 = (1296 - 18 * 36)/(72) = (1296 - 648)/(72) = (648)/(72) = 9, h = 3. Объём пирамиды: V = (1)/(3) * S_(осн) * h = (1)/(3) * 48 * 3 = 48. Ответ: V = 48 .

48