Задача №17299

В пирамиде $SABCD$ основанием является прямоугольник $ABCD$ ($AB<AD$), а все боковые рёбра пирамиды равны. Из точки $B$ опущен перпендикуляр $BH$ на плоскость $SAD\text{.}$

а) Докажите, что $\angle AHC=90^{\circ }\text{.}$

б) Найдите объём пирамиды, если $HA=3\sqrt{2}\text{,}$ $HC=\sqrt{82}\text{,}$ а площадь основания пирамиды равна 48.

а) Доказательство.

Так как все боковые рёбра пирамиды равны ($SA=SB=SC=SD$), вершина $S$ проектируется в центр описанной около основания $ABCD$ окружности. Для прямоугольника это точка пересечения диагоналей $O$ — центр прямоугольника.

Введём координаты: $A=(0,0,0)\text{,}$ $B=(a,0,0)\text{,}$ $C=(a,b,0)\text{,}$ $D=(0,b,0)\text{,}$ $S=(a/2,b/2,h)\text{,}$ где $a=AB\text{,}$ $b=AD\text{,}$ $a<b\text{.}$

Плоскость $(SAD)$ содержит точки $A\text{,}$ $D\text{,}$ $S$ — её нормаль:

$$\vec{n}=\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AS}=(bh,0,-ab/2).$$

Точка $H$ — основание перпендикуляра из $B$ на $(SAD)\text{:}$

$$H=B-\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}}{|\vec{n}{|}^2}\vec{n}.$$

Имеем $\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=abh\text{,}$ $|\vec{n}{|}^2=b^2(h^2+a^2/4)\text{.}$ Пусть $K=h^2+a^2/4\text{.}$

Получим:

$$H=\left(\frac{a^3}{4K},0,\frac{a^{2}h}{2K}\right).$$

Тогда:

$$\overrightarrow{HA}=-H=\left(-\frac{a^3}{4K},0,-\frac{a^{2}h}{2K}\right),$$ $$\overrightarrow{HC}=C-H=\left(\frac{a{h}^2}{K},b,-\frac{a^{2}h}{2K}\right).$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{HA}\cdot \overrightarrow{HC}=-\frac{a^3}{4K}\cdot \frac{a{h}^2}{K}+0+\left(-\frac{a^{2}h}{2K}\right)\left(-\frac{a^{2}h}{2K}\right)=-\frac{a^4{h}^2}{4K^2}+\frac{a^4{h}^2}{4K^2}=0.$$

Значит, $\overrightarrow{HA}\perp \overrightarrow{HC}\text{,}$ то есть $\angle AHC=90^{\circ }\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Объём пирамиды.

Из вычислений выше:

$$|HA{|}^2=\frac{a^6}{16K^2}+\frac{a^4{h}^2}{4K^2}=\frac{a^4(a^2+4h^2)}{16K^2}.$$

Так как $K=(4h^2+a^2)/4\text{,}$ то $K^2=(4h^2+a^2{)}^2/16\text{,}$ и получим:

$$|HA{|}^2=\frac{a^4}{4h^2+a^2}=18.$$

Аналогично:

$$|HC{|}^2=\frac{a^2{h}^4}{K^2}+b^2+\frac{a^4{h}^2}{4K^2}=\frac{a^2{h}^2}{K}+b^2=\frac{4a^2{h}^2}{4h^2+a^2}+b^2=82.$$

Площадь основания $ab=48\text{,}$ откуда $b=48/a\text{.}$

Из первого уравнения $a^4=18(a^2+4h^2)\text{,}$ откуда $h^2=\frac{a^4-18a^2}{72}\text{.}$

Подставим во второе:

$$\frac{4a^2{h}^2}{4h^2+a^2}+\frac{2304}{a^2}=82.$$

Заметим, что $4h^2+a^2=a^4/18\text{,}$ значит

$$\frac{4a^2{h}^2}{4h^2+a^2}=\frac{4a^2{h}^2\cdot 18}{a^4}=\frac{72h^2}{a^2}.$$

Получаем:

$$\frac{72h^2+2304}{a^2}=82\Rightarrow 36h^2+1152=41a^2.$$

С учётом $h^2=\frac{a^4-18a^2}{72}\text{:}$

$$36\cdot \frac{a^4-18a^2}{72}+1152=41a^2\Rightarrow \frac{a^4-18a^2}{2}+1152=41a^2,$$ $$a^4-18a^2+2304=82a^2\Rightarrow a^4-100a^2+2304=0.$$

Замена $t=a^2\text{:}$ $t^2-100t+2304=0\text{,}$ $D=10000-9216=784\text{,}$ $\sqrt{D}=28\text{.}$

$$t=\frac{100\pm 28}{2}\in \{64,36\}.$$

По условию $AB<AD\text{,}$ то есть $a<b=48/a\text{,}$ значит $a^2<48\text{.}$ Подходит $t=36\text{,}$ $a=6\text{,}$ $b=8\text{.}$

Тогда

$$h^2=\frac{1296-18\cdot 36}{72}=\frac{1296-648}{72}=\frac{648}{72}=9,h=3.$$

Объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 48\cdot 3=48.$$

Ответ: $V=48\text{.}$