Задача №17298

а) Решите уравнение

$$\frac{2^{\sin 2x}-2^{\sqrt{3}\cos x}}{\sqrt{\mathrm{tg}x-1}}=0.$$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Решение уравнения

$$\frac{2^{\sin 2x}-2^{\sqrt{3}\cos x}}{\sqrt{\mathrm{tg}x-1}}=0.$$

ОДЗ. Знаменатель строго положителен и определён:

• $\mathrm{tg}x-1>0\iff \mathrm{tg}x>1\text{;}$
• $\cos x\ne 0$ (для существования $\mathrm{tg}x$).

Шаг 1. Числитель равен нулю:

$$2^{\sin 2x}=2^{\sqrt{3}\cos x}\iff \sin 2x=\sqrt{3}\cos x.$$

Шаг 2. Используя $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

$$2\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos x=0\iff \cos x(2\sin x-\sqrt{3})=0.$$

Шаг 3. Случай $\cos x=0$ исключён ОДЗ. Остаётся $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ откуда $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ или $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Шаг 4. Проверка ОДЗ.

• При $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}>1$ ✓.
• При $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ $\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}<1$ ✗.

Корни уравнения: $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Корни на отрезке $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$

Ищем $k\text{,}$ при которых $\pi ⩽\frac{\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{5\pi }{2}\text{.}$ Делим на $\pi$ и вычитаем $\frac{1}{3}\text{:}$

$$\frac{2}{3}⩽2k⩽\frac{13}{6}\iff \frac{1}{3}⩽k⩽\frac{13}{12}.$$

Целое значение: $k=1\text{,}$ откуда $x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}\text{.}$

Проверка: $\frac{7\pi }{3}\approx 7,33\text{,}$ $\pi \approx 3,14\text{,}$ $\frac{5\pi }{2}\approx 7,85$ — входит в отрезок.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $x=\frac{7\pi }{3}\text{.}$