Найдите наибольшее значение функции y = lg(x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 1) на отрезке [-1;(3)/(2)].

Обозначим u(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 1. Так как lg — возрастающая функция, наибольшее y достигается там же, где наибольшее u. u'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2). Критические точки: x = 0,1,2. На отрезке [-1;(3)/(2)] это x = 0 и x = 1. Знаки u'(x) по интервалам: - x in (-1;0): 4x < 0, (x-1) < 0, (x-2) < 0 => произведение < 0, u убывает; - x in (0;1): 4x > 0, (x-1) < 0, (x-2) < 0 => произведение > 0, u возрастает; - x in (1;(3)/(2)): 4x > 0, (x-1) > 0, (x-2) < 0 => произведение < 0, u убывает. Кандидаты на максимум: концевые точки и локальные максимумы x = -1 и x = 1. - u(-1) = 1 + 4 + 4 + 1 = 10, y(-1) = lg 10 = 1. - u(1) = 1 - 4 + 4 + 1 = 2, y(1) = lg 2 < 1. - u((3)/(2)) = (81)/(16) - (27)/(2) + 9 + 1 = (81 - 216 + 144 + 16)/(16) = (25)/(16), y((3)/(2)) = lg(25)/(16) < 1. Наибольшее значение: y(-1) = 1. Ответ: 1.

1