Задача №17296

Найдите наибольшее значение функции $y=\lg \left(x^4-4x^3+4x^2+1\right)$ на отрезке $\left[-1;\frac{3}{2}\right]\text{.}$

Обозначим $u(x)=x^4-4x^3+4x^2+1\text{.}$ Так как $\lg$ — возрастающая функция, наибольшее $y$ достигается там же, где наибольшее $u\text{.}$

Критические точки: $x=0,1,2\text{.}$ На отрезке $\left[-1;\frac{3}{2}\right]$ это $x=0$ и $x=1\text{.}$

Знаки $u^{\prime }(x)$ по интервалам:

• $x\in (-1;0)\text{:}$ $4x<0\text{,}$ $(x-1)<0\text{,}$ $(x-2)<0$ $\Rightarrow$ произведение $<0\text{,}$ $u$ убывает;
• $x\in (0;1)\text{:}$ $4x>0\text{,}$ $(x-1)<0\text{,}$ $(x-2)<0$ $\Rightarrow$ произведение $>0\text{,}$ $u$ возрастает;
• $x\in \left(1;\frac{3}{2}\right)\text{:}$ $4x>0\text{,}$ $(x-1)>0\text{,}$ $(x-2)<0$ $\Rightarrow$ произведение $<0\text{,}$ $u$ убывает.

Кандидаты на максимум: концевые точки и локальные максимумы $x=-1$ и $x=1\text{.}$

• $u(-1)=1+4+4+1=10\text{,}$ $y(-1)=\lg 10=1\text{.}$
• $u(1)=1-4+4+1=2\text{,}$ $y(1)=\lg 2<1\text{.}$
• $u\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{81}{16}-\frac{27}{2}+9+1=\frac{81-216+144+16}{16}=\frac{25}{16}\text{,}$ $y\left(\frac{3}{2}\right)=\lg \frac{25}{16}<1\text{.}$

Наибольшее значение: $y(-1)=1\text{.}$

Ответ: 1.