Задача №17295

В июле 2026 года планируется взять кредит на сумму 1,5 млн рублей на 10 лет (до июля 2036 года). Условия его возврата таковы:

• в январе каждого года долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в нечётные годы погашения (2027, 2029, 2031, 2033, 2035) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину $X$ по сравнению с предыдущим годом;
• в чётные годы погашения (2028, 2030, 2032, 2034, 2036) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину $Y$ по сравнению с предыдущим годом;
• известно, что $X$ в два раза больше $Y\text{;}$
• к июлю 2036 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 2,3 млн рублей.

Все суммы в млн руб. Обозначим $q=1+r/100\text{.}$

Пусть $L_k$ — долг в конце $k$-го года погашения (после январского начисления процентов и весенних выплат). $L_0=1,5$ — долг к началу 2027 (после взятия кредита в июле 2026).

Чередование убывания. В нечётные годы $k=1,3,5,7,9$ долг уменьшается на $X\text{,}$ в чётные $k=2,4,6,8,10$ — на $Y\text{,}$ $X=2Y\text{.}$ К концу 10-го года долг равен 0:

$$5X+5Y=1,5,X=2Y\Rightarrow 15Y=1,5\Rightarrow Y=0,1;X=0,2.$$

Последовательность $L_k\text{:}$

$$\begin{array}{rl}& L_0=1,5;L_1=1,3;L_2=1,2;L_3=1,0;L_4=0,9;L_5=0,7;\\ & L_6=0,6;L_7=0,4;L_8=0,3;L_9=0,1;L_{10}=0.\end{array}$$

Выплата в год $k\text{.}$ В январе долг становится $L_{k-1}\cdot q\text{,}$ а к концу года равен $L_k\text{.}$ Значит выплата:

$$P_k=L_{k-1}\cdot q-L_k.$$

Суммарная выплата:

$$\sum _{k=1}^{10}{P}_k=q\sum _{k=0}^9{L}_k-\sum _{k=1}^{10}{L}_k=2,3.$$

Подсчитаем:

$$\sum _{k=0}^9{L}_k=1,5+1,3+1,2+1,0+0,9+0,7+0,6+0,4+0,3+0,1=8,0.$$ $$\sum _{k=1}^{10}{L}_k=8,0-L_0+L_{10}=8,0-1,5+0=6,5.$$

Уравнение:

$$8q-6,5=2,3\Rightarrow 8q=8,8\Rightarrow q=1,1.$$

Значит $r=10\%\text{.}$

Ответ: $r=10\text{.}$