Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение (a^2 - a - 2asin x + sin^2 x + sin x)/(sqrt(34 - |sin x + a - 54|)) = 0 имеет ровно два различных корня на отрезке [0;pi] .

Уравнение (a^2 - a - 2asin x + sin^2 x + sin x)/(sqrt(34 - |sin x + a - 54|)) = 0 должно иметь ровно два различных корня на [0;pi] . **Шаг 1. Разложение числителя** Обозначим u = sin x . Числитель: u^2 + u - 2au + a^2 - a = (u - a)^2 + (u - a) = (u - a)(u - a + 1). Значит числитель равен нулю при sin x = a или sin x = a - 1 . **Шаг 2. ОДЗ** Знаменатель определён и положителен: (3)/(4) - |sin x + a - (5)/(4)| > 0 <=> |sin x + a - (5)/(4)| < (3)/(4). Раскрытие модуля даёт строгое двойное неравенство: (1)/(2) - a < sin x < 2 - a. * **Шаг 3. Случай** sin x = a Из (*) при sin x = a : (1)/(2) - a < a < 2 - a <=> a > (1)/(4) и a < 1 . Также a in [-1;1] (для sin x = a ). На [0;pi] уравнение sin x = a имеет: - ровно 2 корня, если a in (0;1) (корни arcsin a и pi - arcsin a ); - 1 корень при a = 0 или a = 1 (выпадают границы); - 0 корней при a not in [0;1] . Итог по случаю 1: a in ((1)/(4);1) даёт 2 корня. **Шаг 4. Случай** sin x = a - 1 Из (*) при sin x = a - 1 : (1)/(2) - a < a - 1 < 2 - a , то есть a > (3)/(4) и a < (3)/(2) . На [0;pi] : sin x in [0;1] , поэтому корни существуют лишь при a - 1 in [0;1] , то есть a in [1;2] . Пересечение с ОДЗ: a in [1;(3)/(2)) . На этом множестве: - при a = 1 : sin x = 0 => x = 0,pi — 2 корня; - при a in (1;(3)/(2)) : sin x = a - 1 in (0;(1)/(2)) — 2 корня. **Шаг 5. Пересечение случаев** Случаи 1 и 2 не пересекаются: при a in ((1)/(4);1) работает только первый, при a in [1;(3)/(2)) — только второй. В обоих случаях ровно 2 корня. **Проверка особых точек:** - a = 1 : sin x = 1 исключается из ОДЗ ( 1 < 2 - 1 = 1 ложно); sin x = 0 даёт x = 0,pi — оба удовлетворяют ОДЗ, итого 2 корня. ✓ - a = (1)/(4) : sin x = (1)/(4) выпадает из ОДЗ ( (1)/(4) < (1)/(4) ложно). 0 корней. ✗ - a = (3)/(2) : sin x = (1)/(2) выпадает из ОДЗ ( (1)/(2) < (1)/(2) ложно). 0 корней. ✗ Обе граничные точки не включаются. Ответ: a in ((1)/(4);(3)/(2)) .

a ∈ (1/4; 3/2)