Задача №17293

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\frac{a^2-a-2a\sin x+{\sin }^{2}x+\sin x}{\sqrt{\frac{3}{4}-\left|\sin x+a-\frac{5}{4}\right|}}=0$$

имеет ровно два различных корня на отрезке $[0;\pi ]\text{.}$

Уравнение

$$\frac{a^2-a-2a\sin x+{\sin }^{2}x+\sin x}{\sqrt{\frac{3}{4}-\left|\sin x+a-\frac{5}{4}\right|}}=0$$

должно иметь ровно два различных корня на $[0;\pi ]\text{.}$

Шаг 1. Разложение числителя

Обозначим $u=\sin x\text{.}$ Числитель:

$$u^2+u-2au+a^2-a=(u-a{)}^2+(u-a)=(u-a)(u-a+1).$$

Значит числитель равен нулю при $\sin x=a$ или $\sin x=a-1\text{.}$

Шаг 2. ОДЗ

Знаменатель определён и положителен:

$$\frac{3}{4}-\left|\sin x+a-\frac{5}{4}\right|>0\iff \left|\sin x+a-\frac{5}{4}\right|<\frac{3}{4}.$$

Раскрытие модуля даёт строгое двойное неравенство:

$$\frac{1}{2}-a<\sin x<2-a.\text{\hspace{1em}(*)}$$

Шаг 3. Случай $\sin x=a$

Из (*) при $\sin x=a\text{:}$ $\frac{1}{2}-a<a<2-a\iff a>\frac{1}{4}$ и $a<1\text{.}$ Также $a\in [-1;1]$ (для $\sin x=a$).

На $[0;\pi ]$ уравнение $\sin x=a$ имеет:

• ровно 2 корня, если $a\in (0;1)$ (корни $\arcsin a$ и $\pi -\arcsin a$);
• 1 корень при $a=0$ или $a=1$ (выпадают границы);
• 0 корней при $a\notin [0;1]\text{.}$

Итог по случаю 1: $a\in \left(\frac{1}{4};1\right)$ даёт 2 корня.

Шаг 4. Случай $\sin x=a-1$

Из (*) при $\sin x=a-1\text{:}$ $\frac{1}{2}-a<a-1<2-a\text{,}$ то есть $a>\frac{3}{4}$ и $a<\frac{3}{2}\text{.}$

На $[0;\pi ]\text{:}$ $\sin x\in [0;1]\text{,}$ поэтому корни существуют лишь при $a-1\in [0;1]\text{,}$ то есть $a\in [1;2]\text{.}$

Пересечение с ОДЗ: $a\in \left[1;\frac{3}{2}\right)\text{.}$ На этом множестве:

• при $a=1\text{:}$ $\sin x=0\Rightarrow x=0,\pi$ — 2 корня;
• при $a\in \left(1;\frac{3}{2}\right)\text{:}$ $\sin x=a-1\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ — 2 корня.

Шаг 5. Пересечение случаев

Случаи 1 и 2 не пересекаются: при $a\in \left(\frac{1}{4};1\right)$ работает только первый, при $a\in \left[1;\frac{3}{2}\right)$ — только второй. В обоих случаях ровно 2 корня.

Проверка особых точек:

• $a=1\text{:}$ $\sin x=1$ исключается из ОДЗ ($1<2-1=1$ ложно); $\sin x=0$ даёт $x=0,\pi$ — оба удовлетворяют ОДЗ, итого 2 корня. ✓
• $a=\frac{1}{4}\text{:}$ $\sin x=\frac{1}{4}$ выпадает из ОДЗ ($\frac{1}{4}<\frac{1}{4}$ ложно). 0 корней. ✗
• $a=\frac{3}{2}\text{:}$ $\sin x=\frac{1}{2}$ выпадает из ОДЗ ($\frac{1}{2}<\frac{1}{2}$ ложно). 0 корней. ✗

Обе граничные точки не включаются.

Ответ: $a\in \left(\frac{1}{4};\frac{3}{2}\right)\text{.}$