Задача №17292

В квадрате $KLMN$ точка $D$ — середина стороны $KL\text{,}$ точка $E$ — середина отрезка $DM\text{.}$ На стороне $KN$ отмечена точка $B$ так, что $KB:BN=1:3\text{.}$

А) Докажите, что $\angle DBE=45^{\circ }\text{.}$
Б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BDE$ и $BMD\text{,}$ если площадь четырёхугольника $BEMN$ равна 17.

Решение.

Пусть сторона квадрата равна $4a\text{.}$ Расположим точки: $K$ — нижняя левая, $L$ — верхняя левая, $M$ — верхняя правая, $N$ — нижняя правая.

Тогда $D$ — середина $KL\text{,}$ $KD=DL=2a\text{.}$ Точка $E$ — середина отрезка $DM\text{.}$

Точка $B$ на стороне $KN$ такова, что $KB:BN=1:3\text{,}$ значит $KB=a\text{,}$ $BN=3a\text{.}$

А) Введём углы:

• $\alpha =\angle LDM\text{:}$ в прямоугольном треугольнике $LDM$ катеты $LD=2a$ и $LM=4a\text{,}$ поэтому $\mathrm{tg}\alpha =\frac{LM}{LD}=\frac{4a}{2a}=2\text{.}$
• $\beta =\angle KDB\text{:}$ в прямоугольном треугольнике $KDB$ катеты $KD=2a$ и $KB=a\text{,}$ поэтому $\mathrm{tg}\beta =\frac{KB}{KD}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\text{.}$

Тогда

$$\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{tg}\beta }=\frac{2+1/2}{1-2\cdot 1/2}=\frac{5/2}{0},$$

то есть $\alpha +\beta =90^{\circ }\text{.}$ Углы $\angle KDB\text{,}$ $\angle BDE$ (это $\angle BDM$) и $\angle MDL$ при точке $D$ на прямой $KL$ дают развёрнутый угол $180^{\circ }\text{,}$ поэтому

$$\angle BDE=\angle BDM=180^{\circ }-\alpha -\beta =180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Длины:

$$BD=\sqrt{K{B}^2+K{D}^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5},$$ $$DM=\sqrt{D{L}^2+L{M}^2}=\sqrt{4a^2+16a^2}=2a\sqrt{5},DE=\frac{1}{2}DM=a\sqrt{5}.$$

Значит, $BD=DE\text{,}$ и треугольник $BDE$ равнобедренный прямоугольный с прямым углом при $D\text{.}$ Углы при основании равны: $\angle DBE=\angle DEB=45^{\circ }\text{,}$ что и требовалось доказать.

Б) Треугольники $BDE$ и $BMD$ — прямоугольные с прямым углом при $D\text{,}$ гипотенузы $BE$ и $BM$ соответственно. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы. Значит, центр $O_1$ окружности треугольника $BDE$ — середина $BE\text{,}$ центр $O_2$ окружности треугольника $BMD$ — середина $BM\text{.}$

Отрезок $O_1{O}_2$ — средняя линия треугольника $BME\text{,}$ поэтому

$$O_1{O}_2=\frac{1}{2}EM=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}DM=\frac{1}{4}\cdot 2a\sqrt{5}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$$

Найдём $a$ из площади. Четырёхугольник $BEMN$ можно разбить на $△BNM$ и $△BEM\text{.}$ Однако удобнее представить его как $△BNM\cup △BDM$ минус $△BDE$ — это даёт ту же фигуру, поскольку $E$ лежит на $DM$ внутри $BDMN\text{.}$ Получаем:

$$S_{BEMN}=S_{BNM}+S_{BDM}-S_{BDE}.$$

• $S_{BNM}=\frac{1}{2}BN\cdot NM=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot 4a=6a^2\text{.}$
• $S_{BDM}=\frac{1}{2}BD\cdot DM=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{5}\cdot 2a\sqrt{5}=5a^2\text{.}$
• $S_{BDE}=\frac{1}{2}BD\cdot DE=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{5}\cdot a\sqrt{5}=\frac{5a^2}{2}\text{.}$

Итого $S_{BEMN}=6a^2+5a^2-\frac{5a^2}{2}=\frac{17a^2}{2}=17\text{,}$ откуда $a^2=2\text{,}$ $a=\sqrt{2}\text{.}$

Значит,

$$O_1{O}_2=\frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}.$$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}\text{.}$