В квадрате KLMN точка D — середина стороны KL, точка E — середина отрезка DM. На стороне KN отмечена точка B так, что KB : BN = 1 : 3. А) Докажите, что DBE = 45^. Б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BDE и BMD, если площадь четырёхугольника BEMN равна 17.

**Решение.** Пусть сторона квадрата равна 4a. Расположим точки: K — нижняя левая, L — верхняя левая, M — верхняя правая, N — нижняя правая. Тогда D — середина KL, KD = DL = 2a. Точка E — середина отрезка DM. Точка B на стороне KN такова, что KB : BN = 1 : 3, значит KB = a, BN = 3a. **А)** Введём углы: - alpha = LDM: в прямоугольном треугольнике LDM катеты LD = 2a и LM = 4a, поэтому = (LM)/(LD) = (4a)/(2a) = 2. - beta = KDB: в прямоугольном треугольнике KDB катеты KD = 2a и KB = a, поэтому = (KB)/(KD) = (a)/(2a) = (1)/(2). Тогда tg(alpha + beta) = ( + )/(1 - * ) = (2 + 1/2)/(1 - 2 * 1/2) = (5/2)/(0), то есть alpha + beta = 90^. Углы KDB, BDE (это BDM) и MDL при точке D на прямой KL дают развёрнутый угол 180^, поэтому BDE = BDM = 180^ - alpha - beta = 180^ - 90^ = 90^. Длины: BD = sqrt(KB^2 + KD^2) = sqrt(a^2 + 4a^2) = asqrt(5), DM = sqrt(DL^2 + LM^2) = sqrt(4a^2 + 16a^2) = 2asqrt(5), DE = (1)/(2)DM = asqrt(5). Значит, BD = DE, и треугольник BDE равнобедренный прямоугольный с прямым углом при D. Углы при основании равны: DBE = DEB = 45^, что и требовалось доказать. **Б)** Треугольники BDE и BMD — прямоугольные с прямым углом при D, гипотенузы BE и BM соответственно. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы. Значит, центр O_1 окружности треугольника BDE — середина BE, центр O_2 окружности треугольника BMD — середина BM. Отрезок O_1 O_2 — средняя линия треугольника BME, поэтому O_1 O_2 = (1)/(2)EM = (1)/(2) * (1)/(2)DM = (1)/(4) * 2asqrt(5) = (asqrt(5))/(2). Найдём a из площади. Четырёхугольник BEMN можно разбить на BNM и BEM. Однако удобнее представить его как BNM U BDM минус BDE — это даёт ту же фигуру, поскольку E лежит на DM внутри BDMN. Получаем: S_(BEMN) = S_(BNM) + S_(BDM) - S_(BDE). - S_(BNM) = (1)/(2)BN * NM = (1)/(2) * 3a * 4a = 6a^2. - S_(BDM) = (1)/(2)BD * DM = (1)/(2) * asqrt(5) * 2asqrt(5) = 5a^2. - S_(BDE) = (1)/(2)BD * DE = (1)/(2) * asqrt(5) * asqrt(5) = (5a^2)/(2). Итого S_(BEMN) = 6a^2 + 5a^2 - (5a^2)/(2) = (17a^2)/(2) = 17, откуда a^2 = 2, a = sqrt(2). Значит, O_1 O_2 = (asqrt(5))/(2) = (sqrt(2) * sqrt(5))/(2) = (sqrt(10))/(2). **Ответ:** (sqrt(10))/(2).

$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$