Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение (25^x-(a^2-2a+6)* 5^x+5a^2-10a+5)/(sqrt(x-_5(3-a)))=0 имеет ровно 1 корень.

Уравнение: (25^x - (a^2 - 2a + 6)* 5^x + 5a^2 - 10a + 5)/(sqrt(x - _5(3-a))) = 0. ОДЗ: x - _5(3-a) > 0 , 3 - a > 0 (под логарифмом), т.е. a < 3 и x > _5(3-a) . Числитель. Замена t = 5^x > 0 : N(t) = t^2 - (a^2 - 2a + 6) t + 5(a-1)^2. Заметим: a^2 - 2a + 6 = (a-1)^2 + 5 . Тогда N(t) = (t - 5)(t - (a-1)^2). Корни: t = 5 => x = 1 и t = (a-1)^2 . Если a != 1 , то (a-1)^2 > 0 , x = _5(a-1)^2 . При a = 1 второй корень отсутствует ( 5^x = 0 невозможно). Условия попадания в ОДЗ: - x_1 = 1 in ОДЗ 1 > _5(3-a) 5 > 3-a a > -2 . - x_2 = _5(a-1)^2 in ОДЗ _5(a-1)^2 > _5(3-a) (a-1)^2 > 3-a (с учётом 3-a > 0 ). (a-1)^2 > 3-a a^2 - a - 2 > 0 (a-2)(a+1) > 0 a < -1 или a > 2. Кроме того a != 1 . Совпадение корней: x_1 = x_2 (a-1)^2 = 5 a = 1 +- sqrt(5) . В пределах a < 3 только a = 1 - sqrt(5) ~ -1,236 (лежит в (-2; -1) ). Анализ количества корней в ОДЗ. 1. a -2 : x_1 not in ОДЗ; x_2 in ОДЗ (т.к. a < -1 ). Один корень. 2. -2 < a < -1 , a != 1 - sqrt(5) : оба корня в ОДЗ и различны. Два корня. 3. a = 1 - sqrt(5) : оба корня совпадают (равны 1 ). Один корень. 4. -1 a 2 ( a любое в этом диапазоне, включая a = 1 ): x_1 in ОДЗ; x_2 либо не в ОДЗ, либо не существует. Один корень. Проверка границ: a = -1 : x_2 -условие (a-1)^2 > 3-a 4 > 4 — нет, x_2 not in ОДЗ. a = 2 : 4 > 1 1 > 1 — нет, x_2 not in ОДЗ. 5. 2 < a < 3 : оба корня в ОДЗ, x_1 != x_2 (т.к. 1 + sqrt(5) not in (2; 3) , точнее 1 + sqrt(5) ~ 3,24 ). Два корня. Итого: уравнение имеет ровно один корень при a in (-inf; -2] U 1 - sqrt(5) U [-1; 2]. Ответ: a in (-inf; -2] U 1 - sqrt(5) U [-1; 2] .

(-∞; -2] ∪ {1-√5} ∪ [-1; 2]