Задача №17290

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\frac{25^x-(a^2-2a+6)\cdot 5^x+5a^2-10a+5}{\sqrt{x-{\log }_5(3-a)}}=0$$

имеет ровно 1 корень.

Уравнение:

$$\frac{25^x-(a^2-2a+6)\cdot 5^x+5a^2-10a+5}{\sqrt{x-{\log }_5(3-a)}}=0.$$

ОДЗ: $x-{\log }_5(3-a)>0\text{,}$ $3-a>0$ (под логарифмом), т.е. $a<3$ и $x>{\log }_5(3-a)\text{.}$

Числитель. Замена $t=5^x>0\text{:}$

$$N(t)=t^2-(a^2-2a+6)t+5(a-1{)}^2.$$

Заметим: $a^2-2a+6=(a-1{)}^2+5\text{.}$ Тогда

$$N(t)=(t-5)(t-(a-1{)}^2).$$

Корни: $t=5\Rightarrow x=1$ и $t=(a-1{)}^2\text{.}$ Если $a\ne 1\text{,}$ то $(a-1{)}^2>0\text{,}$ $x={\log }_5(a-1{)}^2\text{.}$ При $a=1$ второй корень отсутствует ($5^x=0$ невозможно).

Условия попадания в ОДЗ:

• $x_1=1\in$ ОДЗ $⟺1>{\log }_5(3-a)⟺5>3-a⟺a>-2\text{.}$
• $x_2={\log }_5(a-1{)}^2\in$ ОДЗ $⟺{\log }_5(a-1{)}^2>{\log }_5(3-a)⟺(a-1{)}^2>3-a$ (с учётом $3-a>0$).

$$(a-1{)}^2>3-a⟺a^2-a-2>0⟺(a-2)(a+1)>0⟺a<-1\text{ или }a>2.$$

Кроме того $a\ne 1\text{.}$

Совпадение корней: $x_1=x_2⟺(a-1{)}^2=5⟺a=1\pm \sqrt{5}\text{.}$ В пределах $a<3$ только $a=1-\sqrt{5}\approx -1,236$ (лежит в $(-2;-1)$).

Анализ количества корней в ОДЗ.

1. $a⩽-2\text{:}$ $x_1\notin$ ОДЗ; $x_2\in$ ОДЗ (т.к. $a<-1$). Один корень.
2. $-2<a<-1\text{,}$ $a\ne 1-\sqrt{5}\text{:}$ оба корня в ОДЗ и различны. Два корня.
3. $a=1-\sqrt{5}\text{:}$ оба корня совпадают (равны $1$). Один корень.
4. $-1⩽a⩽2$ ($a$ любое в этом диапазоне, включая $a=1$): $x_1\in$ ОДЗ; $x_2$ либо не в ОДЗ, либо не существует. Один корень.

Проверка границ: $a=-1\text{:}$ $x_2$-условие $(a-1{)}^2>3-a⟺4>4$ — нет, $x_2\notin$ ОДЗ. $a=2\text{:}$ $4>1⟺1>1$ — нет, $x_2\notin$ ОДЗ.
5. $2<a<3\text{:}$ оба корня в ОДЗ, $x_1\ne x_2$ (т.к. $1+\sqrt{5}\notin (2;3)\text{,}$ точнее $1+\sqrt{5}\approx 3,24$). Два корня.

Итого: уравнение имеет ровно один корень при

$$a\in (-\infty ;-2]\cup \{1-\sqrt{5}\}\cup [-1;2].$$

Ответ: $a\in (-\infty ;-2]\cup \{1-\sqrt{5}\}\cup [-1;2]\text{.}$