Задача №17289

На рисунке даны цилиндр и конус с одинаковыми основаниями и одинаковыми высотами, причём конус полностью заполнен водой. Когда в боковой поверхности конуса близко к основанию проделывают отверстие, уровни воды в цилиндре и в конусе становятся одинаковыми.

Объём воды, оставшейся в конусе, составляет 19 см³. Найдите объём цилиндра в см³.

alexlarin.net 2026 Разрешается свободное копирование, распространение и использование в образовательных некоммерческих целях

Пусть $V_K$ — объём конуса, $V_{Ц}$ — объём цилиндра, $S$ — площадь общего основания, $H$ — общая высота. Тогда $V_K=\frac{1}{3}SH\text{,}$ $V_{Ц}=SH=3V_K\text{.}$

Пусть $h$ — общий уровень воды после установления равновесия. Изначально в конусе была вся вода объёмом $V_K\text{.}$ После равновесия суммарный объём воды (в конусе ниже уровня $h$ плюс в цилиндре в кольце вокруг конуса до уровня $h$) равен $S\cdot h$ (полный цилиндр до высоты $h$ заполнен либо водой в конусе, либо водой в цилиндре):

$$S\cdot h=V_K=\frac{1}{3}SH\Rightarrow h=\frac{H}{3}.$$

Объём воды, оставшейся в конусе, — это объём усечённого конуса от $0$ до $h\text{,}$ то есть весь конус минус малый конус сверху (с линейным коэффициентом подобия $\frac{H-h}{H}=\frac{2}{3}$):

$$V_{\text{ост}}=V_K\left(1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3\right)=V_K\cdot \frac{19}{27}=19.$$

Откуда $V_K=27\text{,}$ и $V_{Ц}=3V_K=81$ см³.

Ответ: 81