Задача №17287

Для проведения физического эксперимента используется цепь, состоящая из источника питания с ЭДС $\epsilon =12$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом, а также регулируемого реостата с сопротивлением $R$ (в Омах). Мощность $P$ (в Ваттах), выделяемая на реостате, вычисляется по формуле:

$$P(R)=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(R+r{)}^2}.$$

Для корректной работы измерительных приборов необходимо, чтобы мощность на реостате находилась в диапазоне от 10 до 16 Вт включительно. При этом конструкция реостата позволяет изменять сопротивление в пределах от 0,2 до 12 Ом.

Найдите суммарную длину всех интервалов значений сопротивления $R\text{,}$ при которых приборы будут работать корректно.

При $\epsilon =12\text{,}$ $r=2$ имеем $P(R)=\frac{144R}{(R+2{)}^2}\text{.}$ Требуется $10⩽P(R)⩽16\text{,}$ то есть

$$10(R+2{)}^2⩽144R⩽16(R+2{)}^2,$$

или (поделив на 2)

$$5(R+2{)}^2⩽72R⩽8(R+2{)}^2.$$

Рассмотрим правое неравенство $72R⩽8(R+2{)}^2\text{:}$

$$9R⩽(R+2{)}^2\iff R^2-5R+4⩾0\iff (R-1)(R-4)⩾0,$$

откуда $R⩽1$ или $R⩾4\text{.}$

Рассмотрим левое неравенство $5(R+2{)}^2⩽72R\text{:}$

$$5R^2+20R+20⩽72R\iff 5R^2-52R+20⩽0.$$

Найдём корни:

$$R=\frac{52\pm \sqrt{2704-400}}{10}=\frac{52\pm 48}{10},$$

то есть $R=0,4$ или $R=10\text{.}$ Значит, $0,4⩽R⩽10\text{.}$

Пересечение ограничений: $R\in [0,4;1]\cup [4;10]\text{.}$ Все эти значения попадают в технический диапазон $[0,2;12]\text{.}$

Суммарная длина интервалов:

$$(1-0,4)+(10-4)=0,6+6=6,6.$$

Ответ: 6,6.