Задача №17285

Найдите значение выражения:

$$\frac{7^{{\log }_{7}3}+{\log }_{2}16}{{\sin }^2\frac{5\pi }{8}+{\sin }^2\frac{9\pi }{8}}.$$

Вычислим числитель:

$$7^{{\log }_{7}3}=3,{\log }_{2}16=4,$$

тогда числитель равен $3+4=7\text{.}$

Рассмотрим знаменатель ${\sin }^2\frac{5\pi }{8}+{\sin }^2\frac{9\pi }{8}\text{.}$

Преобразуем каждое слагаемое:

$$\sin \frac{5\pi }{8}=\sin \left(\pi -\frac{3\pi }{8}\right)=\sin \frac{3\pi }{8}=\cos \frac{\pi }{8},$$ $$\sin \frac{9\pi }{8}=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{8}\right)=-\sin \frac{\pi }{8},$$

поэтому ${\sin }^2\frac{9\pi }{8}={\sin }^2\frac{\pi }{8}\text{.}$

Тогда знаменатель равен

$${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8}=1.$$

Итого:

$$\frac{7}{1}=7.$$

Ответ: 7.