Задача №17284

Найдите значение выражения

$$\frac{\sqrt{{\log }_{2}48-4\sqrt{{\log }_{2}3}}-3}{\sqrt{{\log }_{2}6+2\sqrt{{\log }_{2}3}}}+2.$$

Введём обозначение $y=\sqrt{{\log }_{2}3}\text{,}$ тогда $y^2={\log }_{2}3\text{.}$ Поскольку ${\log }_{2}3\approx 1,585\text{,}$ имеем $y\approx 1,26<2\text{.}$

Преобразуем подкоренные выражения:

$${\log }_{2}48={\log }_2(16\cdot 3)=4+{\log }_{2}3=4+y^2,$$

тогда

$${\log }_{2}48-4\sqrt{{\log }_{2}3}=y^2-4y+4=(y-2{)}^2.$$

Аналогично

$${\log }_{2}6={\log }_2(2\cdot 3)=1+{\log }_{2}3=1+y^2,$$

тогда

$${\log }_{2}6+2\sqrt{{\log }_{2}3}=y^2+2y+1=(y+1{)}^2.$$

Извлекаем корни с учётом знаков:

$$\sqrt{(y-2{)}^2}=|y-2|=2-y\text{(так как }y<2\text{)},$$ $$\sqrt{(y+1{)}^2}=|y+1|=y+1\text{(так как }y>0\text{)}.$$

Подставим:

$$E=\frac{(2-y)-3}{y+1}+2=\frac{-(y+1)}{y+1}+2=-1+2=1.$$

Ответ: $1\text{.}$