Задача №17283

Найдите наибольшее значение функции

$$y=12\cos x+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\pi +6$$

на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Рассмотрим функцию $y=12\cos x+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\pi +6$ на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Найдём производную:

$$y^{\prime }=-12\sin x+6\sqrt{3}.$$

Приравняем к нулю:

$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right].$$

Исследуем знак производной: при $x<\frac{\pi }{3}$ имеем $\sin x<\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ значит $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. При $x>\frac{\pi }{3}$ — функция убывает. Следовательно, $x=\frac{\pi }{3}$ — точка максимума.

Вычислим значение функции в точке максимума:

$$y\left(\frac{\pi }{3}\right)=12\cdot \frac{1}{2}+6\sqrt{3}\cdot \frac{\pi }{3}-2\sqrt{3}\pi +6=6+2\sqrt{3}\pi -2\sqrt{3}\pi +6=12.$$

Ответ: $12\text{.}$