Задача №17280

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $S$ млн рублей на 4 года.

Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего года ($r$ — целое число);
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле 2027 и 2028 годов долг должен составлять $58\%$ и $21\%$ от первоначальной суммы $S$ соответственно;
• в июле 2029 и 2030 годов выплаты должны быть равными, и к июлю 2030 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите наименьшее целое значение $r\text{,}$ при котором общая сумма выплат по кредиту составит более $1,19S$ (то есть переплата превысит $19\%$).

Обозначим $k=1+\frac{r}{100}$ — коэффициент годового роста долга.

Долг по годам:

1. Январь 2027: $kS\text{.}$ Июль 2027 долг равен $0,58S\text{.}$ Выплата за год $X_1=kS-0,58S=(k-0,58)S\text{.}$
2. Январь 2028: $0,58kS\text{.}$ Июль 2028 долг $0,21S\text{.}$ Выплата $X_2=(0,58k-0,21)S\text{.}$
3. Январь 2029: $0,21kS\text{.}$ После выплаты $X_3$ долг $0,21kS-X_3\text{.}$
4. Январь 2030: $(0,21kS-X_3)\cdot k=0,21k^{2}S-X_{3}k\text{.}$ После выплаты $X_4$ долг $0\text{.}$

Условие равенства последних выплат $X_3=X_4$ и обнуления долга:

$$0,21k^{2}S-X_{3}k-X_3=0\Rightarrow X_3=\frac{0,21k^2}{k+1}S.$$

Общая сумма выплат, делённая на $S\text{:}$

$$T(k)=(k-0,58)+(0,58k-0,21)+\frac{2\cdot 0,21k^2}{k+1}=1,58k-0,79+\frac{0,42k^2}{k+1}.$$

Условие переплаты более $19\%\text{:}$ $T(k)>1,19\text{.}$ Умножим на $k+1>0\text{:}$

$$(1,58k-0,79)(k+1)+0,42k^2>1,19(k+1).$$

Раскроем скобки:

$$1,58k^2+0,79k-0,79+0,42k^2>1,19k+1,19,$$

то есть

$$2k^2-0,4k-1,98>0\iff k^2-0,2k-0,99>0.$$

Дискриминант: $D=0,04+3,96=4\text{,}$ корни $k=\frac{0,2\pm 2}{2}=1,1$ или $-0,9\text{.}$ Неравенство выполнено при $k>1,1$ (отрицательный корень не годится по смыслу).

Значит, $1+\frac{r}{100}>1,1\iff r>10\text{.}$ Наименьшее целое $r=11\text{.}$

Проверка $r=11\text{,}$ $k=1,11\text{:}$

$$X_1=0,53S,X_2=0,4338S,X_3=\frac{0,21\cdot 1,2321}{2,11}S\approx 0,1226S.$$

Сумма $\approx 0,53+0,4338+0,2452=1,209S>1,19S\text{.}$ При $r=10\text{,}$ $k=1,1$ сумма ровно $1,19S$ — не превышает.

Ответ: $r=11\text{.}$