В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму S млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего года ( r — целое число); - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; - в июле 2027 и 2028 годов долг должен составлять 58% и 21% от первоначальной суммы S соответственно; - в июле 2029 и 2030 годов выплаты должны быть равными, и к июлю 2030 года долг должен быть полностью погашен. Найдите наименьшее целое значение r , при котором общая сумма выплат по кредиту составит более 1,19 S (то есть переплата превысит 19% ).

Обозначим k = 1 + (r)/(100) — коэффициент годового роста долга. Долг по годам: 1. Январь 2027: kS . Июль 2027 долг равен 0,58S . Выплата за год X_1 = kS - 0,58S = (k - 0,58)S . 2. Январь 2028: 0,58kS . Июль 2028 долг 0,21S . Выплата X_2 = (0,58k - 0,21)S . 3. Январь 2029: 0,21kS . После выплаты X_3 долг 0,21kS - X_3 . 4. Январь 2030: (0,21kS - X_3)* k = 0,21k^2 S - X_3 k . После выплаты X_4 долг 0 . Условие равенства последних выплат X_3 = X_4 и обнуления долга: 0,21k^2 S - X_3 k - X_3 = 0 => X_3 = (0,21k^2)/(k + 1)S. Общая сумма выплат, делённая на S : T(k) = (k - 0,58) + (0,58k - 0,21) + (2* 0,21k^2)/(k + 1) = 1,58k - 0,79 + (0,42k^2)/(k + 1). Условие переплаты более 19% : T(k) > 1,19 . Умножим на k + 1 > 0 : (1,58k - 0,79)(k + 1) + 0,42k^2 > 1,19(k + 1). Раскроем скобки: 1,58k^2 + 0,79k - 0,79 + 0,42k^2 > 1,19k + 1,19, то есть 2k^2 - 0,4k - 1,98 > 0 <=> k^2 - 0,2k - 0,99 > 0. Дискриминант: D = 0,04 + 3,96 = 4 , корни k = (0,2 +- 2)/(2) = 1,1 или -0,9 . Неравенство выполнено при k > 1,1 (отрицательный корень не годится по смыслу). Значит, 1 + (r)/(100) > 1,1 <=> r > 10 . Наименьшее целое r = 11 . Проверка r = 11 , k = 1,11 : X_1 = 0,53S, X_2 = 0,4338S, X_3 = (0,21* 1,2321)/(2,11)S ~ 0,1226S. Сумма ~ 0,53 + 0,4338 + 0,2452 = 1,209S > 1,19S . При r = 10 , k = 1,1 сумма ровно 1,19S — не превышает. Ответ: r = 11 .

11