В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точки K , L и M — середины рёбер AA_1 , D_1C_1 и BC соответственно. а) Докажите, что плоскость KLM перпендикулярна диагонали DB_1 . б) Найдите ребро куба, если расстояние от точки A до плоскости KLM равно sqrt(3) .

Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине B : ось Bx вдоль ребра BA , ось By вдоль ребра BC , ось Bz вдоль ребра BB_1 . Пусть ребро куба равно 2a . Тогда координаты вершин: B(0;0;0),A(2a;0;0),D(2a;2a;0),C(0;2a;0), B_1(0;0;2a),A_1(2a;0;2a),D_1(2a;2a;2a),C_1(0;2a;2a). Точки K , L , M — середины рёбер AA_1 , D_1C_1 , BC соответственно: K(2a;0;a),L(a;2a;2a),M(0;a;0). а) Векторы плоскости (KLM) : MK = (2a;-a;a) (2;-1;1), ML = (a;a;2a) (1;1;2). Уравнение плоскости через точку M(0;a;0) : vmatrix x & y - a & z 2 & -1 & 1 1 & 1 & 2 vmatrix = 0. Раскрывая: (-2 - 1)x + (1 - 4)(y - a) + (2 + 1)z = 0 , то есть -3x - 3(y - a) + 3z = 0 , или x + y - z - a = 0. Нормальный вектор плоскости: N = (1;1;-1) . Вектор диагонали DB_1 : DB_1 = B_1 - D = (-2a;-2a;2a) = -2a * (1;1;-1) = -2aN. Значит, DB_1 коллинеарен N , поэтому DB_1 (KLM) , что и требовалось доказать. б) Расстояние от точки A(2a;0;0) до плоскости x + y - z - a = 0 : (A,(KLM)) = (|2a + 0 - 0 - a|)/(sqrt(1^2 + 1^2 + (-1)^2)) = (a)/(sqrt(3)). По условию (a)/(sqrt(3)) = sqrt(3) , откуда a = 3 . Ребро куба 2a = 6 . Ответ: 6.

6