Задача №17278

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $K\text{,}$ $L$ и $M$ — середины рёбер $A{A}_1\text{,}$ $D_1{C}_1$ и $BC$ соответственно.

а) Докажите, что плоскость $KLM$ перпендикулярна диагонали $D{B}_1\text{.}$

б) Найдите ребро куба, если расстояние от точки $A$ до плоскости $KLM$ равно $\sqrt{3}\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине $B\text{:}$ ось $Bx$ вдоль ребра $BA\text{,}$ ось $By$ вдоль ребра $BC\text{,}$ ось $Bz$ вдоль ребра $B{B}_1\text{.}$ Пусть ребро куба равно $2a\text{.}$ Тогда координаты вершин:

$$B(0;0;0),A(2a;0;0),D(2a;2a;0),C(0;2a;0),$$ $$B_1(0;0;2a),A_1(2a;0;2a),D_1(2a;2a;2a),C_1(0;2a;2a).$$

Точки $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M$ — середины рёбер $A{A}_1\text{,}$ $D_1{C}_1\text{,}$ $BC$ соответственно:

$$K(2a;0;a),L(a;2a;2a),M(0;a;0).$$

а) Векторы плоскости $(KLM)\text{:}$

$$\overrightarrow{MK}=(2a;-a;a)\parallel (2;-1;1),\overrightarrow{ML}=(a;a;2a)\parallel (1;1;2).$$

Уравнение плоскости через точку $M(0;a;0)\text{:}$

$$\left|\begin{array}{ccc}x& y-a& z\\ 2& -1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=0.$$

Раскрывая: $(-2-1)x+(1-4)(y-a)+(2+1)z=0\text{,}$ то есть $-3x-3(y-a)+3z=0\text{,}$ или

$$x+y-z-a=0.$$

Нормальный вектор плоскости: $\vec{N}=(1;1;-1)\text{.}$

Вектор диагонали $D{B}_1\text{:}$

$$\overrightarrow{D{B}_1}=B_1-D=(-2a;-2a;2a)=-2a\cdot (1;1;-1)=-2a\vec{N}.$$

Значит, $\overrightarrow{D{B}_1}$ коллинеарен $\vec{N}\text{,}$ поэтому $\overrightarrow{D{B}_1}\perp (KLM)\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Расстояние от точки $A(2a;0;0)$ до плоскости $x+y-z-a=0\text{:}$

$$\rho (A,(KLM))=\frac{|2a+0-0-a|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

По условию $\frac{a}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\text{,}$ откуда $a=3\text{.}$ Ребро куба $2a=6\text{.}$

Ответ: 6.