Задача №17275

Площадь поверхности правильного тетраэдра равна 28. Тетраэдр пересекают плоскостью, проходящей через середины трёх рёбер, исходящих из одной вершины. Найдите площадь поверхности отсечённого тетраэдра.

Пусть исходный правильный тетраэдр с вершинами $S,A,B,C\text{.}$ Плоскость проходит через середины трёх рёбер, исходящих из вершины $S$ — обозначим их $M_A,M_B,M_C$ (середины $SA\text{,}$ $SB\text{,}$ $SC$).

Отсечённый малый тетраэдр $S{M}_A{M}_B{M}_C$ подобен исходному тетраэдру $SABC$ с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$ (каждое ребро в 2 раза короче соответствующего ребра большого тетраэдра).

Площади подобных поверхностей относятся как $k^2\text{:}$

Ответ: 7.