Задача №17274

Решите уравнение

$$(x-4)\cdot \left({\log }_5(125-25x)+6+\frac{1}{{\log }_{5-x}0,2}+x-{\log }_6\left(x^2+x-6\right)\right)+24=x^2+2x.$$

Если корней несколько, в ответе укажите их произведение.

Уравнение:

$$(x-4)\left({\log }_5(125-25x)+6+\frac{1}{{\log }_{5-x}0,2}+x-{\log }_6(x^2+x-6)\right)+24=x^2+2x.$$

Шаг 1. Перепишем правую часть:

$$x^2+2x-24=(x-4)(x+6).$$

Тогда уравнение приводится к виду

$$(x-4)\left({\log }_5(125-25x)+6+\frac{1}{{\log }_{5-x}0,2}+x-{\log }_6(x^2+x-6)-(x+6)\right)=0.$$

Шаг 2. Случай $x=4\text{.}$ Тогда ${\log }_{5-x}0,2={\log }_{1}0,2$ — не определён. Корень посторонний.

Шаг 3. Скобка равна нулю:

$${\log }_5(125-25x)+\frac{1}{{\log }_{5-x}0,2}-{\log }_6(x^2+x-6)=0.$$

Преобразуем слагаемые. Поскольку $0,2=\frac{1}{5}\text{,}$ имеем ${\log }_{5-x}0,2=-{\log }_{5-x}5\text{,}$ откуда

$$\frac{1}{{\log }_{5-x}0,2}=-\frac{1}{{\log }_{5-x}5}=-{\log }_5(5-x).$$

Далее $125-25x=25(5-x)\text{,}$ поэтому ${\log }_5(125-25x)=2+{\log }_5(5-x)\text{.}$

Подставляем:

$$2+{\log }_5(5-x)-{\log }_5(5-x)-{\log }_6(x^2+x-6)=0,$$ $${\log }_6(x^2+x-6)=2,$$ $$x^2+x-6=36,x^2+x-42=0.$$

Корни: $x=6$ и $x=-7\text{.}$

Шаг 4. ОДЗ:

1. $125-25x>0\Rightarrow x<5\text{;}$
2. $5-x>0$ и $5-x\ne 1\Rightarrow x<5,x\ne 4\text{;}$
3. $x^2+x-6>0\Rightarrow x<-3$ или $x>2\text{.}$

Корень $x=6$ не подходит ($x<5$ нарушено). Корень $x=-7$ удовлетворяет всем условиям.

Единственный корень — $x=-7\text{.}$ Произведение корней совпадает с самим корнем: $-7\text{.}$

Ответ: $-7\text{.}$