Задача №17273

Найдите корень уравнения

$${\log }_{x-1}(x^2-6x+9)=1.$$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Уравнение:

$${\log }_{x-1}(x^2-6x+9)=1.$$

ОДЗ: $x-1>0\text{,}$ $x-1\ne 1\text{,}$ $x^2-6x+9>0\text{,}$ то есть $x>1\text{,}$ $x\ne 2\text{,}$ $x\ne 3\text{.}$

Заметим, что $x^2-6x+9=(x-3{)}^2\text{.}$ По определению логарифма:

$$(x-3{)}^2=x-1\Rightarrow x^2-6x+9=x-1\Rightarrow x^2-7x+10=0.$$

Корни: $x_1=5\text{,}$ $x_2=2\text{.}$ Корень $x=2$ не входит в ОДЗ (база равна 1). Остаётся $x=5\text{.}$

Проверка: ${\log }_{4}4=1\text{.}$

Ответ: 5.