Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение (x^2-ax+a)^2+(1-a)x+a=0 имеет ровно три различных действительных корня.

Уравнение: (x^2 - ax + a)^2 + (1-a)x + a = 0. Ищем разложение в виде произведения двух квадратных трёхчленов. Раскроем квадрат и сгруппируем: (x^2 - ax + a)^2 = x^4 - 2ax^3 + (a^2+2a)x^2 - 2a^2 x + a^2. Добавив (1-a)x + a , получим: x^4 - 2ax^3 + (a^2+2a)x^2 + (1 - a - 2a^2)x + (a^2+a) = 0. Ищем разложение (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s) с qs = a^2 + a = a(a+1) . Пробуем q = a+1, s = a : 1. p + r = -2a , 2. q + s + pr = a^2 + 2a => pr = a^2 - 1 , 3. ps + qr = -2a^2 - a + 1 . Из последнего: pa + r(a+1) = -2a^2 - a + 1 => a(p+r) + r = -2a^2 - a + 1 => r = 1 - a, p = -a - 1. Проверка: pr = (-a-1)(1-a) = a^2 - 1 — верно. Итого: (x^2 - (a+1)x + (a+1))*(x^2 + (1-a)x + a) = 0. Обозначим: (I) x^2 - (a+1)x + (a+1) = 0 , D_1 = (a+1)^2 - 4(a+1) = (a+1)(a-3) . (II) x^2 + (1-a)x + a = 0 , D_2 = (1-a)^2 - 4a = a^2 - 6a + 1 . Общие корни. Вычитая уравнения: -(a+1+1-a)x + (a+1) - a = 0 => -2x + 1 = 0 => x = (1)/(2). Подстановка в (I): (1)/(4) - (a+1)/(2) + (a+1) = (2a+3)/(4) = 0, откуда a = -(3)/(2) . Иные значения a дают разные корни (I) и (II). Количество корней уравнения = (число различных корней (I)) + (число различных корней (II)) − (число общих). Найдём такие a , что суммарно ровно 3. Случай a = -(3)/(2) . Общий корень x = (1)/(2) . (I): D_1 = (-(1)/(2))*(-(9)/(2)) = (9)/(4) > 0 , корни (1)/(2) и -1 . (II): D_2 = (9)/(4) + 3 = (49)/(4) > 0 , корни (1)/(2) и -3 . Объединение -3; -1; (1)/(2) — 3 различных корня. Подходит. Случай D_1 = 0, D_2 > 0 . D_1 = 0 : a = -1 или a = 3 . 1. a = -1 : (I) даёт x^2 = 0 , корень x = 0 (кратность 2 — 1 различный). (II): x^2 + 2x - 1 = 0 , корни -1 +- sqrt(2) . Совпадений с 0 нет. Итого 1 + 2 = 3 . Подходит. 2. a = 3 : (I) даёт двойной корень x = 2 . (II): x^2 - 2x + 3 = 0 , D_2 = -8 < 0 . Корней (II) нет. Итого 1 корень. Не подходит. Случай D_1 > 0, D_2 = 0 . D_2 = 0 : a = 3 +- 2sqrt(2) . 1. a = 3 + 2sqrt(2) : D_1 = (4+2sqrt(2))* 2sqrt(2) = 8 + 8sqrt(2) > 0 — 2 корня. (II) даёт 1 корень x = (a-1)/(2) = 1+sqrt(2) . Проверим, не лежит ли он на (I): подставим x = 1+sqrt(2) в x^2 - (a+1)x + (a+1) : (3+2sqrt(2)) - (4+2sqrt(2))(1+sqrt(2)) + (4+2sqrt(2)) = (3+2sqrt(2)) - (8+6sqrt(2)) + (4+2sqrt(2)) = -1 - 2sqrt(2) != 0. Не общий. Итого 2 + 1 = 3 . Подходит. 2. a = 3 - 2sqrt(2) : D_1 = (4-2sqrt(2))*(-2sqrt(2)) = 8 - 8sqrt(2) < 0 . (I) корней нет. Итого 1. Не подходит. Остальные случаи (оба D_i > 0 без общих корней — 4 корня; оба D_i < 0 — 0 корней; и т. д.) не дают ровно 3. Ответ: a in -(3)/(2); -1; 3 + 2sqrt(2) .

-3/2; -1; 3 + 2√2