Задача №17270

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$(x^2-ax+a{)}^2+(1-a)x+a=0$$

имеет ровно три различных действительных корня.

Уравнение:

$$(x^2-ax+a{)}^2+(1-a)x+a=0.$$

Ищем разложение в виде произведения двух квадратных трёхчленов. Раскроем квадрат и сгруппируем:

$$(x^2-ax+a{)}^2=x^4-2a{x}^3+(a^2+2a)x^2-2a^{2}x+a^2.$$

Добавив $(1-a)x+a\text{,}$ получим:

$$x^4-2a{x}^3+(a^2+2a)x^2+(1-a-2a^2)x+(a^2+a)=0.$$

Ищем разложение $(x^2+px+q)(x^2+rx+s)$ с $qs=a^2+a=a(a+1)\text{.}$ Пробуем $q=a+1,s=a\text{:}$

1. $p+r=-2a\text{,}$
2. $q+s+pr=a^2+2a\Rightarrow pr=a^2-1\text{,}$
3. $ps+qr=-2a^2-a+1\text{.}$

Из последнего:

$$pa+r(a+1)=-2a^2-a+1\Rightarrow a(p+r)+r=-2a^2-a+1\Rightarrow r=1-a,p=-a-1.$$

Проверка: $pr=(-a-1)(1-a)=a^2-1$ — верно.

Итого:

$$(x^2-(a+1)x+(a+1))\cdot (x^2+(1-a)x+a)=0.$$

Обозначим:

(I) $x^2-(a+1)x+(a+1)=0\text{,}$ $D_1=(a+1{)}^2-4(a+1)=(a+1)(a-3)\text{.}$

(II) $x^2+(1-a)x+a=0\text{,}$ $D_2=(1-a{)}^2-4a=a^2-6a+1\text{.}$

Общие корни. Вычитая уравнения:

$$-(a+1+1-a)x+(a+1)-a=0\Rightarrow -2x+1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}.$$

Подстановка в (I):

$$\frac{1}{4}-\frac{a+1}{2}+(a+1)=\frac{2a+3}{4}=0,$$

откуда $a=-\frac{3}{2}\text{.}$ Иные значения $a$ дают разные корни (I) и (II).

Количество корней уравнения = (число различных корней (I)) + (число различных корней (II)) − (число общих).

Найдём такие $a\text{,}$ что суммарно ровно 3.

Случай $a=-\frac{3}{2}\text{.}$ Общий корень $x=\frac{1}{2}\text{.}$ (I): $D_1=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{9}{2}\right)=\frac{9}{4}>0\text{,}$ корни $\frac{1}{2}$ и $-1\text{.}$ (II): $D_2=\frac{9}{4}+3=\frac{49}{4}>0\text{,}$ корни $\frac{1}{2}$ и $-3\text{.}$ Объединение $\left\{-3;-1;\frac{1}{2}\right\}$ — 3 различных корня. Подходит.

Случай $D_1=0,D_2>0\text{.}$ $D_1=0\text{:}$ $a=-1$ или $a=3\text{.}$

1. $a=-1\text{:}$ (I) даёт $x^2=0\text{,}$ корень $x=0$ (кратность 2 — 1 различный). (II): $x^2+2x-1=0\text{,}$ корни $-1\pm \sqrt{2}\text{.}$ Совпадений с 0 нет. Итого $1+2=3\text{.}$ Подходит.
2. $a=3\text{:}$ (I) даёт двойной корень $x=2\text{.}$ (II): $x^2-2x+3=0\text{,}$ $D_2=-8<0\text{.}$ Корней (II) нет. Итого 1 корень. Не подходит.

Случай $D_1>0,D_2=0\text{.}$ $D_2=0\text{:}$ $a=3\pm 2\sqrt{2}\text{.}$

1. $a=3+2\sqrt{2}\text{:}$ $D_1=(4+2\sqrt{2})\cdot 2\sqrt{2}=8+8\sqrt{2}>0$ — 2 корня. (II) даёт 1 корень $x=\frac{a-1}{2}=1+\sqrt{2}\text{.}$ Проверим, не лежит ли он на (I): подставим $x=1+\sqrt{2}$ в $x^2-(a+1)x+(a+1)\text{:}$

$$(3+2\sqrt{2})-(4+2\sqrt{2})(1+\sqrt{2})+(4+2\sqrt{2})=(3+2\sqrt{2})-(8+6\sqrt{2})+(4+2\sqrt{2})=-1-2\sqrt{2}\ne 0.$$

Не общий. Итого $2+1=3\text{.}$ Подходит.

2. $a=3-2\sqrt{2}\text{:}$ $D_1=(4-2\sqrt{2})\cdot (-2\sqrt{2})=8-8\sqrt{2}<0\text{.}$ (I) корней нет. Итого 1. Не подходит.

Остальные случаи (оба $D_i>0$ без общих корней — 4 корня; оба $D_i<0$ — 0 корней; и т. д.) не дают ровно 3.

Ответ: $a\in \left\{-\frac{3}{2};-1;3+2\sqrt{2}\right\}\text{.}$