Задача №17269

Решите уравнение

$$\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}=3.$$

В ответе укажите сумму целых корней.

ОДЗ: $x⩾-1\text{.}$

Преобразуем подкоренные выражения, выделяя полные квадраты:

$$x+2+2\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}{)}^2+2\sqrt{x+1}+1=(\sqrt{x+1}+1{)}^2,$$ $$x+5-4\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}{)}^2-4\sqrt{x+1}+4=(\sqrt{x+1}-2{)}^2.$$

Уравнение принимает вид:

$$|\sqrt{x+1}+1|+|\sqrt{x+1}-2|=3.$$

Поскольку $\sqrt{x+1}⩾0\text{,}$ первый модуль раскрывается как $\sqrt{x+1}+1\text{.}$

Случай 1: $\sqrt{x+1}⩽2\text{,}$ то есть $-1⩽x⩽3\text{.}$ Тогда $|\sqrt{x+1}-2|=2-\sqrt{x+1}\text{,}$ и сумма:

$$(\sqrt{x+1}+1)+(2-\sqrt{x+1})=3$$

— верно для всех $x$ из этого промежутка. Целые корни: $-1,0,1,2,3\text{.}$

Случай 2: $\sqrt{x+1}>2\text{,}$ то есть $x>3\text{.}$ Тогда $|\sqrt{x+1}-2|=\sqrt{x+1}-2\text{,}$ и сумма:

$$(\sqrt{x+1}+1)+(\sqrt{x+1}-2)=2\sqrt{x+1}-1=3\iff \sqrt{x+1}=2\iff x=3,$$

что противоречит $x>3\text{.}$ Решений нет.

Сумма целых корней:

$$-1+0+1+2+3=5.$$

Ответ: 5.