Решите уравнение sqrt(x + 2 + 2x+1) + sqrt(x + 5 - 4x+1) = 3. В ответе укажите сумму целых корней.

ОДЗ: x -1 . Преобразуем подкоренные выражения, выделяя полные квадраты: x + 2 + 2sqrt(x+1) = (sqrt(x+1))^2 + 2sqrt(x+1) + 1 = (sqrt(x+1) + 1)^2, x + 5 - 4sqrt(x+1) = (sqrt(x+1))^2 - 4sqrt(x+1) + 4 = (sqrt(x+1) - 2)^2. Уравнение принимает вид: |sqrt(x+1) + 1| + |sqrt(x+1) - 2| = 3. Поскольку sqrt(x+1) 0 , первый модуль раскрывается как sqrt(x+1) + 1 . Случай 1: sqrt(x+1) 2 , то есть -1 x 3 . Тогда |sqrt(x+1) - 2| = 2 - sqrt(x+1) , и сумма: (sqrt(x+1) + 1) + (2 - sqrt(x+1)) = 3 — верно для всех x из этого промежутка. Целые корни: -1, 0, 1, 2, 3 . Случай 2: sqrt(x+1) > 2 , то есть x > 3 . Тогда |sqrt(x+1) - 2| = sqrt(x+1) - 2 , и сумма: (sqrt(x+1) + 1) + (sqrt(x+1) - 2) = 2sqrt(x+1) - 1 = 3 <=>sqrt(x+1) = 2 <=>x = 3, что противоречит x > 3 . Решений нет. Сумма целых корней: -1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5. Ответ: 5.

5