Задача №17268

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 1 100 000 рублей на срок 4 года. Условия его возврата таковы:

1. Каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года.
2. С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
3. В первые три года (2027, 2028 и 2029 гг.) заёмщик выплачивает только начисленные проценты, оставляя тело кредита неизменным.

В 2030 году заёмщик выбирает одну из двух стратегий погашения остатка:

1) Стратегия «Рассрочка»: погасить весь оставшийся долг двумя равными платежами в 2030 и 2031 годах.

2) Стратегия «Досрочный рывок»: выплатить в 2030 году фиксированную сумму, чтобы остаток долга на начало 2031 года (сразу после начисления процентов в январе) стал ровно в два раза меньше, чем он был бы при стратегии «Рассрочка» в тот же момент времени.

На сколько рублей общая сумма выплат по второй стратегии будет меньше, чем по первой, если во втором случае кредит также будет полностью погашен в 2031 году?

Кредит $S=1100000$ руб., взят в июле 2026. Ежегодное удорожание в январе на $20\%$ (коэффициент $1,2$). В первые три года (2027, 2028, 2029) погашаются только проценты — тело долга остаётся $1100000$ руб.

Сумма выплат за 2027–2029 (одинаковая каждый год):

$$P_{\text{год}}=1100000\cdot 0,2=220000\text{ руб.}$$

Итого за три года: $3\cdot 220000=660000$ руб.

На начало 2030 после январских $20\%\text{:}$ $1100000\cdot 1,2=1320000$ руб.

Стратегия 1 — «Рассрочка».

Два равных платежа $X$ в 2030 и 2031 годах полностью погашают долг:

1. После выплаты в 2030: остаток $1320000-X\text{.}$
2. На начало 2031 после процентов: $(1320000-X)\cdot 1,2\text{.}$
3. После выплаты в 2031: $(1320000-X)\cdot 1,2-X=0\text{.}$

Из условия:

$$1,2\cdot 1320000-1,2X-X=0\Rightarrow 2,2X=1584000\Rightarrow X=720000.$$

Сумма выплат за 2030–2031: $2X=1440000$ руб.

Общая сумма выплат по 1-й стратегии: $660000+1440000=2100000$ руб.

Стратегия 2 — «Досрочный рывок».

В 2030 году выплачивается $Y$ так, чтобы остаток на начало 2031 (после январских процентов) был в 2 раза меньше, чем при «Рассрочке» в тот же момент.

Остаток на начало 2031 при «Рассрочке»:

$$(1320000-720000)\cdot 1,2=600000\cdot 1,2=720000\text{ руб.}$$

При «Досрочном рывке»: $\frac{720000}{2}=360000$ руб., то есть

$$(1320000-Y)\cdot 1,2=360000\Rightarrow 1320000-Y=300000\Rightarrow Y=1020000.$$

В 2031 году погашается остаток $360000$ руб. (полное погашение в 2031 году по условию).

Сумма за 2030–2031: $1020000+360000=1380000$ руб.

Общая сумма выплат по 2-й стратегии: $660000+1380000=2040000$ руб.

Разница:

$$\Delta =2100000-2040000=60000\text{ руб.}$$

Ответ: 60 000.