Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
sinxa2−2a(cosx+2)+cos2x+4cosx+3=0имеет ровно три различных корня на отрезке [−π;23π].
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю и знаменатель отличен от нуля. Условие sinx=0 исключает x∈{−π;0;π} из отрезка [−π;23π].
Числитель — квадратный трёхчлен относительно a:
a2−2(cosx+2)a+(cos2x+4cosx+3)=0.Дискриминант:
4D=(cosx+2)2−(cos2x+4cosx+3)=cos2x+4cosx+4−cos2x−4cosx−3=1.Отсюда a=(cosx+2)±1, то есть a=cosx+1 или a=cosx+3.
Таким образом, числитель раскладывается:
(cosx−(a−1))(cosx−(a−3))=0,и задача сводится к подсчёту числа решений совокупности
{cosx=a−1,cosx=a−3,с ограничением sinx=0 на [−π;23π].
Подсчитаем, сколько корней даёт уравнение cosx=t на [−π;23π] при sinx=0.
Исключаемые точки x=−π,0,π соответствуют cosx=−1,1,−1.
Рассмотрим cosx на участках [−π;π] и [π;3π/2]:
1. При x∈[−π;π] (период косинуса): значение cosx=t для t∈(−1;1) имеет ровно 2 корня; t=1 — один корень x=0 (исключён); t=−1 — два корня x=±π (оба исключены).
2. При x∈[π;3π/2]: cosx возрастает от −1 до 0, поэтому каждое t∈[−1;0] даёт один корень (для t=−1 это x=π — исключён).
Итого на [−π;23π] при sinx=0:
1. t∈(−1;0] — 3 корня (2 из (−π;π) и 1 из (π;3π/2]);
2. t∈(0;1) — 2 корня;
3. t=1 или t=−1 или ∣t∣>1 — 0 корней.
Применим это к двум уравнениям совокупности.
cosx=a−1 даёт 3 корня ⇔−1<a−1⩽0⇔0<a⩽1. Тогда a−3∈(−3;−2], то есть ∣a−3∣>1, и второе уравнение корней не даёт. Итого 3 корня.
cosx=a−3 даёт 3 корня ⇔−1<a−3⩽0⇔2<a⩽3. Тогда a−1∈(1;2], ∣a−1∣>1, первое уравнение корней не даёт. Итого 3 корня.
Другие случаи:
1. a∈(1;2]: a−1∈(0;1] — 2 или 0 корней; a−3∈(−2;−1] — 0 корней. Не 3.
2. a⩽0: a−1⩽−1 — 0 корней; a−3⩽−3 — 0 корней. Не 3.
3. a>3: оба значения больше 0, и a−3∈(0;1) или ⩾1, не даёт ровно 3.
Корни обеих серий не совпадают (так как a−1=a−3), поэтому суммирование корректно.
Ответ: a∈(0;1]∪(2;3].