Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение (a^2 - 2a(cos x + 2) + cos^2 x + 4cos x + 3)/(sin x) = 0 имеет ровно три различных корня на отрезке [-pi;(3pi)/(2)] .

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю и знаменатель отличен от нуля. Условие sin x != 0 исключает x in -pi;0;pi из отрезка [-pi;(3pi)/(2)] . Числитель — квадратный трёхчлен относительно a : a^2 - 2(cos x + 2)a + (cos^2 x + 4cos x + 3) = 0. Дискриминант: (D)/(4) = (cos x + 2)^2 - (cos^2 x + 4cos x + 3) = cos^2 x + 4cos x + 4 - cos^2 x - 4cos x - 3 = 1. Отсюда a = (cos x + 2) +- 1 , то есть a = cos x + 1 или a = cos x + 3 . Таким образом, числитель раскладывается: (cos x - (a - 1))(cos x - (a - 3)) = 0, и задача сводится к подсчёту числа решений совокупности cases cos x = a - 1, cos x = a - 3, cases с ограничением sin x != 0 на [-pi;(3pi)/(2)] . Подсчитаем, сколько корней даёт уравнение cos x = t на [-pi;(3pi)/(2)] при sin x != 0 . Исключаемые точки x = -pi,0,pi соответствуют cos x = -1,1,-1 . Рассмотрим cos x на участках [-pi;pi] и [pi;3pi/2] : 1. При x in [-pi;pi] (период косинуса): значение cos x = t для t in (-1;1) имеет ровно 2 корня; t = 1 — один корень x = 0 (исключён); t = -1 — два корня x = +-pi (оба исключены). 2. При x in [pi;3pi/2] : cos x возрастает от -1 до 0 , поэтому каждое t in [-1;0] даёт один корень (для t = -1 это x = pi — исключён). Итого на [-pi;(3pi)/(2)] при sin x != 0 : 1. t in (-1;0] — 3 корня (2 из (-pi;pi) и 1 из (pi;3pi/2] ); 2. t in (0;1) — 2 корня; 3. t = 1 или t = -1 или |t| > 1 — 0 корней. Применим это к двум уравнениям совокупности. cos x = a - 1 даёт 3 корня <=> -1 < a - 1 0 <=> 0 < a 1 . Тогда a - 3 in (-3;-2] , то есть |a - 3| > 1 , и второе уравнение корней не даёт. Итого 3 корня. cos x = a - 3 даёт 3 корня <=> -1 < a - 3 0 <=> 2 < a 3 . Тогда a - 1 in (1;2] , |a - 1| > 1 , первое уравнение корней не даёт. Итого 3 корня. Другие случаи: 1. a in (1;2] : a - 1 in (0;1] — 2 или 0 корней; a - 3 in (-2;-1] — 0 корней. Не 3. 2. a 0 : a - 1 -1 — 0 корней; a - 3 -3 — 0 корней. Не 3. 3. a > 3 : оба значения больше 0, и a - 3 in (0;1) или 1 , не даёт ровно 3. Корни обеих серий не совпадают (так как a - 1 != a - 3 ), поэтому суммирование корректно. Ответ: a in (0;1] U (2;3] .

$a \in (0;\,1] \cup (2;\,3]$