В правильной шестиугольной призме ABCDEKA_1B_1C_1D_1E_1K_1 KC_1 = sqrt(7) , A_1K = 2 . Найдите объём призмы ABCDEKA_1B_1C_1D_1E_1K_1 .

Правильная шестиугольная призма ABCDEKA_1B_1C_1D_1E_1K_1 со стороной основания a и высотой h . Дано: KC_1 = sqrt(7) , A_1K = 2 . В правильном шестиугольнике ABCDEK точки A и K — соседние вершины, поэтому AK = a . Точки K и C расположены диаметрально противоположно (между ними три стороны: K A B C либо K E D C ), поэтому KC = 2a — длина большой диагонали. Так как A_1 лежит над A на высоте h , треугольник A_1AK прямоугольный с катетами AA_1 = h и AK = a : A_1K^(2) = h^2 + a^2 = 4. Аналогично C_1 лежит над C , треугольник C_1CK прямоугольный: KC_1^(2) = h^2 + KC^2 = h^2 + 4a^2 = 7. Вычитая первое уравнение из второго, получим 3a^2 = 3 , откуда a = 1 . Тогда h^2 = 4 - 1 = 3 , h = sqrt(3) . Площадь правильного шестиугольника со стороной a = 1 : S = (3sqrt(3))/(2)a^2 = (3sqrt(3))/(2). Объём призмы: V = S* h = (3sqrt(3))/(2)*sqrt(3) = (9)/(2) = 4,5. Ответ: 4,5 .

4,5