Задача №17266

В правильной шестиугольной призме $ABCDEK{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{K}_1$ $K{C}_1=\sqrt{7}\text{,}$ $A_{1}K=2\text{.}$ Найдите объём призмы $ABCDEK{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{K}_1\text{.}$

Правильная шестиугольная призма $ABCDEK{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{K}_1$ со стороной основания $a$ и высотой $h\text{.}$ Дано: $K{C}_1=\sqrt{7}\text{,}$ $A_{1}K=2\text{.}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEK$ точки $A$ и $K$ — соседние вершины, поэтому $AK=a\text{.}$ Точки $K$ и $C$ расположены диаметрально противоположно (между ними три стороны: $K\to A\to B\to C$ либо $K\to E\to D\to C$), поэтому $KC=2a$ — длина большой диагонали.

Так как $A_1$ лежит над $A$ на высоте $h\text{,}$ треугольник $A_{1}AK$ прямоугольный с катетами $A{A}_1=h$ и $AK=a\text{:}$

Аналогично $C_1$ лежит над $C\text{,}$ треугольник $C_{1}CK$ прямоугольный:

Вычитая первое уравнение из второго, получим $3a^2=3\text{,}$ откуда $a=1\text{.}$ Тогда $h^2=4-1=3\text{,}$ $h=\sqrt{3}\text{.}$

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a=1\text{:}$

Объём призмы:

Ответ: $4,5\text{.}$