Задача №17265

А) Решите уравнение
$\frac{2{\sin }^{2}x-\sin x-1}{\sqrt{-\cos x\cdot \mathrm{tg}x}}=0\text{.}$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

А) Уравнение равносильно системе:

$$\{\begin{array}{l}2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0,\\ -\cos x\cdot \mathrm{tg}x>0,\\ \cos x\ne 0.\end{array}$$

При $\cos x\ne 0$ имеем $-\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=-\sin x\text{,}$ и условие $-\sin x>0$ равносильно $\sin x<0\text{.}$

Квадратное уравнение относительно $\sin x\text{:}$

$$\sin x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}=\{\begin{array}{l}1,\\ -\frac{1}{2}.\end{array}$$

Значение $\sin x=1$ нарушает условие $\sin x<0\text{,}$ поэтому остаётся $\sin x=-\frac{1}{2}\text{,}$ откуда

$$x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n,x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,n,k\in \mathbb{Z}.$$

Для этих значений $\cos x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$ — условие выполнено.

Б) На отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]=\left[\frac{12\pi }{6};\frac{21\pi }{6}\right]$ длиной $\frac{3\pi }{2}$ ищем корни.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{:}$ при $n=2$ получаем $x=\frac{23\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}$ — не входит; при $n=1\text{:}$ $x=\frac{11\pi }{6}<\frac{12\pi }{6}$ — не входит.

Серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ при $k=2$ получаем $x=-\frac{5\pi }{6}+4\pi =\frac{19\pi }{6}\text{.}$ Так как $\frac{12\pi }{6}⩽\frac{19\pi }{6}⩽\frac{21\pi }{6}$ — корень входит.

Ответ:

а) $-\frac{\pi }{6}+2\pi n,-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,n,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{19\pi }{6}$