Задача №17264

Четырёхугольник $ABED$ вписан в окружность, проходящую через $A\text{,}$ $B\text{,}$ $D\text{,}$ $E\text{.}$ Значит, сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle ABE+\angle ADE=180^{\circ }.$$

Но $\angle CDE=180^{\circ }-\angle ADE$ (углы, смежные на прямой $AC$). Следовательно, $\angle CDE=\angle ABE=\angle ABC\text{.}$

Аналогично $\angle CED=\angle BAC\text{.}$

Треугольники $CDE$ и $CBA$ подобны по двум углам (угол $C$ общий). Коэффициент подобия:

$$k=\frac{DE}{AB}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}.$$

Радиусы описанных окружностей подобных треугольников относятся как коэффициент подобия:

$$R_{CDE}=k\cdot R_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 24=12.$$

Ответ: $R_{CDE}=12\text{.}$