Задача №17263

Решите уравнение $x^x+139x^{-x}-108x^{-2x}=32\text{.}$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите их произведение.

Уравнение $x^x+139x^{-x}-108x^{-2x}=32\text{.}$

Шаг 1. ОДЗ: $x>0\text{.}$ Сделаем замену $t=x^x\text{,}$ тогда $x^{-x}=\frac{1}{t}\text{,}$ $x^{-2x}=\frac{1}{t^2}\text{:}$

Шаг 2. Умножим на $t^2>0$ и приведём к виду:

Шаг 3. Подбор: $t=1$ даёт $1-32+139-108=0\text{.}$ Делим на $(t-1)\text{:}$

Корни квадратичного:

то есть $t=27$ или $t=4\text{.}$

Шаг 4. Решаем $x^x=1,4,27\text{:}$

1. $x^x=1\Rightarrow x=1$ (проверка: $1^1=1$).
2. $x^x=4\Rightarrow x=2$ (проверка: $2^2=4$).
3. $x^x=27\Rightarrow x=3$ (проверка: $3^3=27$).

Шаг 5. Произведение корней:

Ответ: 6.