Решите уравнение x^x + 139x^(-x) - 108x^(-2x) = 32 . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите их произведение.

Уравнение x^(x) + 139x^(-x) - 108x^(-2x) = 32 . Шаг 1. ОДЗ: x > 0 . Сделаем замену t = x^(x) , тогда x^(-x) = (1)/(t) , x^(-2x) = (1)/(t^2) : t + (139)/(t) - (108)/(t^2) = 32. Шаг 2. Умножим на t^2 > 0 и приведём к виду: t^3 - 32 t^2 + 139 t - 108 = 0. Шаг 3. Подбор: t=1 даёт 1 - 32 + 139 - 108 = 0 . Делим на (t-1) : t^3 - 32 t^2 + 139 t - 108 = (t-1)(t^2 - 31t + 108) = 0. Корни квадратичного: t = (31+-sqrt(961-432))/(2) = (31+- 23)/(2), то есть t = 27 или t = 4 . Шаг 4. Решаем x^x = 1, 4, 27 : 1. x^x = 1 => x = 1 (проверка: 1^1 = 1 ). 2. x^x = 4 => x = 2 (проверка: 2^2 = 4 ). 3. x^x = 27 => x = 3 (проверка: 3^3 = 27 ). Шаг 5. Произведение корней: 1* 2* 3 = 6. Ответ: 6.

6