Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Геометрия
Ларин
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K, лежащей на боковой стороне CD. Найдите боковую сторону AB, если AD=19, BC=7.
Пусть ∠A=α, ∠B=β. Поскольку AD∥BC, сумма односторонних углов:
α+β=180∘.Тогда биссектрисы пересекаются под прямым углом:
∠AKB=2α+2β=90∘.Точка K на биссектрисе ∠A равноудалена от прямых AD и AB. Точка K на биссектрисе ∠B равноудалена от прямых AB и BC. Значит, K равноудалена от трёх прямых AD, AB, BC, причём AD∥BC, поэтому расстояния от K до AD и до BC в сумме равны высоте трапеции h. Из равенства этих расстояний: каждое равно h/2, и точка K — середина CD.
Проведём биссектрису AK и продлим её до пересечения с прямой BC в точке E. Углы ∠KAD и ∠AEB — накрест лежащие при AD∥BC, поэтому ∠AEB=∠KAD=∠KAB. Треугольник ABE равнобедренный: AB=BE.
Так как K — середина CD, а AD∥BC, точка K — середина отрезка AE (точки A и E на параллельных прямых, K посередине между ними по высоте, значит делит секущую пополам).
Аналогично, биссектриса BK, продлённая до точки F на AD, даёт AB=AF и K — середина BF.
Поместим координаты: A=(0,0), D=(19,0), B=(xB,h), C=(xB+7,h). Тогда K — середина CD:
K=(219+xB+7,2h)=(226+xB,2h).Точка на биссектрисе угла A с ординатой h/2 имеет абсциссу 2∣AB∣+xB (точка K как сумма единичных векторов AD^ и AB^, умноженных на ∣AB∣/2).
Приравниваем:
2∣AB∣+xB=226+xB,откуда ∣AB∣=26.
Ответ: AB=26.