В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K , лежащей на боковой стороне CD . Найдите боковую сторону AB , если AD = 19 , BC = 7 .

Пусть A = alpha , B = beta . Поскольку AD BC , сумма односторонних углов: alpha + beta = 180^. Тогда биссектрисы пересекаются под прямым углом: AKB = (alpha)/(2) + (beta)/(2) = 90^. Точка K на биссектрисе A равноудалена от прямых AD и AB . Точка K на биссектрисе B равноудалена от прямых AB и BC . Значит, K равноудалена от трёх прямых AD , AB , BC , причём AD BC , поэтому расстояния от K до AD и до BC в сумме равны высоте трапеции h . Из равенства этих расстояний: каждое равно h/2 , и точка K — середина CD . Проведём биссектрису AK и продлим её до пересечения с прямой BC в точке E . Углы KAD и AEB — накрест лежащие при AD BC , поэтому AEB = KAD = KAB . Треугольник ABE равнобедренный: AB = BE . Так как K — середина CD , а AD BC , точка K — середина отрезка AE (точки A и E на параллельных прямых, K посередине между ними по высоте, значит делит секущую пополам). Аналогично, биссектриса BK , продлённая до точки F на AD , даёт AB = AF и K — середина BF . Поместим координаты: A = (0, 0) , D = (19, 0) , B = (x_B, h) , C = (x_B + 7, h) . Тогда K — середина CD : K = ( (19 + x_B + 7)/(2),(h)/(2) ) = ( (26 + x_B)/(2),(h)/(2) ). Точка на биссектрисе угла A с ординатой h/2 имеет абсциссу (|AB| + x_B)/(2) (точка K как сумма единичных векторов AD и AB , умноженных на |AB|/2 ). Приравниваем: (|AB| + x_B)/(2) = (26 + x_B)/(2), откуда |AB| = 26 . Ответ: AB = 26 .

26