В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 AA_1 = AB = sqrt(2) ; BC = 2 . Через точку B и середину AD проведена плоскость alpha перпендикулярно диагонали AC_1 , а через точку D и середину ребра BC проведена плоскость beta параллельно плоскости alpha . а) Докажите, что плоскость alpha проходит через точку A_1 . б) Найдите объём части параллелепипеда, заключённой между плоскостями alpha и beta .

Введём систему координат. Пусть A=(0,0,0), B=(sqrt(2),0,0), C=(sqrt(2),2,0), D=(0,2,0), A_1=(0,0,sqrt(2)), B_1=(sqrt(2),0,sqrt(2)), C_1=(sqrt(2),2,sqrt(2)), D_1=(0,2,sqrt(2)). Диагональ AC_1 = (sqrt(2), 2, sqrt(2)) параллельна вектору нормали n = (1, sqrt(2), 1) плоскости alpha . Составим уравнения плоскостей. Плоскость alpha перпендикулярна n и проходит через B(sqrt(2),0,0) : alpha x + sqrt(2)y + z = sqrt(2). Проверка: для середины M_(AD) = (0,1,0) имеем 0 + sqrt(2) + 0 = sqrt(2) . Плоскость beta параллельна alpha и проходит через D(0,2,0) : beta x + sqrt(2)y + z = 2sqrt(2). Проверка: для середины M_(BC) = (sqrt(2), 1, 0) имеем sqrt(2) + sqrt(2) = 2sqrt(2) . а) Подставим A_1 = (0, 0, sqrt(2)) в уравнение alpha : 0 + sqrt(2)* 0 + sqrt(2) = sqrt(2). Равенство выполнено, значит A_1 in alpha , что и требовалось доказать. б) Объём всего параллелепипеда: V_0 = AB* BC* AA_1 = sqrt(2)* 2* sqrt(2) = 4. Рассмотрим линейную функцию f(x,y,z) = x + sqrt(2)y + z . Её значения в вершинах: f(A)=0, f(B)=sqrt(2), f(A_1)=sqrt(2), f(D)=2sqrt(2), f(B_1)=2sqrt(2), f(C)=3sqrt(2), f(D_1)=3sqrt(2), f(C_1)=4sqrt(2). Центр параллелепипеда O = ((sqrt(2))/(2), 1, (sqrt(2))/(2)) : f(O) = (sqrt(2))/(2) + sqrt(2) + (sqrt(2))/(2) = 2sqrt(2), значит O in beta . Плоскость beta проходит через центр и делит параллелепипед на две равные части по объёму: (V_0)/(2) = 2. Часть параллелепипеда под alpha (где f < sqrt(2) ) — это тетраэдр с вершинами A, B, M_(AD), A_1 (плоскость alpha пересекает ребро AB в точке B , ребро AD в точке M_(AD)=(0,1,0) , ребро AA_1 в точке A_1 ). Его объём: V_(<alpha) = (1)/(6)|(AB,AM_(AD),AA_1)| = (1)/(6)*|sqrt(2)* 1* sqrt(2)| = (1)/(3). Тогда объём между alpha и beta : V_(alphabeta) = V_(<beta) - V_(<alpha) = 2 - (1)/(3) = (5)/(3). Ответ: (5)/(3) .

5/3