Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AA1=AB=2; BC=2. Через точку B и середину AD проведена плоскость α перпендикулярно диагонали AC1, а через точку D и середину ребра BC проведена плоскость β параллельно плоскости α.
а) Докажите, что плоскость α проходит через точку A1.
б) Найдите объём части параллелепипеда, заключённой между плоскостями α и β.
Введём систему координат. Пусть
A=(0,0,0), B=(2,0,0), C=(2,2,0), D=(0,2,0), A1=(0,0,2), B1=(2,0,2), C1=(2,2,2), D1=(0,2,2).Диагональ AC1=(2, 2, 2) параллельна вектору нормали n=(1, 2, 1) плоскости α.
Составим уравнения плоскостей. Плоскость α перпендикулярна n и проходит через B(2,0,0):
α: x+2y+z=2.Проверка: для середины MAD=(0,1,0) имеем 0+2+0=2.
Плоскость β параллельна α и проходит через D(0,2,0):
β: x+2y+z=22.Проверка: для середины MBC=(2,1,0) имеем 2+2=22.
а) Подставим A1=(0,0,2) в уравнение α:
0+2⋅0+2=2.Равенство выполнено, значит A1∈α, что и требовалось доказать.
б) Объём всего параллелепипеда:
V0=AB⋅BC⋅AA1=2⋅2⋅2=4.Рассмотрим линейную функцию f(x,y,z)=x+2y+z. Её значения в вершинах:
f(A)=0, f(B)=2, f(A1)=2, f(D)=22, f(B1)=22, f(C)=32, f(D1)=32, f(C1)=42.Центр параллелепипеда O=(22, 1, 22):
f(O)=22+2+22=22,значит O∈β. Плоскость β проходит через центр и делит параллелепипед на две равные части по объёму:
2V0=2.Часть параллелепипеда под α (где f<2) — это тетраэдр с вершинами A, B, MAD, A1 (плоскость α пересекает ребро AB в точке B, ребро AD в точке MAD=(0,1,0), ребро AA1 в точке A1). Его объём:
V<α=61det(AB,AMAD,AA1)=61⋅2⋅1⋅2=31.Тогда объём между α и β:
Vαβ=V<β−V<α=2−31=35.Ответ: 35.