Задача №17258

Стрелок А попадает в мишень с вероятностью $0,6\text{,}$ а стрелок В — с вероятностью $0,5\text{.}$ Они стреляют по очереди, пока кто-то не попадет. Каждый может сделать не более двух выстрелов. Предполагая, что любой из стрелков может начать первым с равной вероятностью, найдите вероятность того, что мишень будет поражена стрелком В.

Обозначим:

• $p_A=0,6\text{,}$ $q_A=0,4$ — вероятности попадания и промаха стрелка $A\text{;}$
• $p_B=0,5\text{,}$ $q_B=0,5$ — вероятности попадания и промаха стрелка $B\text{.}$

Каждый стрелок делает не более двух выстрелов. Стрельба идёт по очереди до первого попадания. Стрелок, начинающий первым, выбирается с равной вероятностью $\frac{1}{2}\text{.}$

Пусть $H$ — событие «мишень поражена стрелком $B$». По формуле полной вероятности:

Случай 1. Первым стреляет $A\text{.}$ Порядок выстрелов: $A\to B\to A\to B\text{.}$ Событие $H$ происходит, если:

• $A$ промахнулся, $B$ попал: вероятность $q_A{p}_B=0,4\cdot 0,5=0,20\text{.}$
• $A$ промахнулся, $B$ промахнулся, $A$ промахнулся, $B$ попал: $q_A{q}_B{q}_A{p}_B=0,4\cdot 0,5\cdot 0,4\cdot 0,5=0,04\text{.}$

Случай 2. Первым стреляет $B\text{.}$ Порядок: $B\to A\to B\to A\text{.}$ Событие $H$ происходит, если:

• $B$ попал с первого выстрела: $p_B=0,5\text{.}$
• $B$ промахнулся, $A$ промахнулся, $B$ попал: $q_B{q}_A{p}_B=0,5\cdot 0,4\cdot 0,5=0,10\text{.}$

Полная вероятность:

Ответ: $0,42$