Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств
⎩⎨⎧x2−5x+4(a−x)⋅(a−x+4)⩽0a+x>1имеет ровно два целочисленных решения.
Система:
⎩⎨⎧x2−5x+4(a−x)(a−x+4)⩽0,a+x>1.Целочисленные решения — это x∈Z, x⩾0 (из-за x), x=1, x=4 (знаменатель отличен от нуля).
Знаменатель x2−5x+4=(x−1)(x−4): положителен при x=0 и при x⩾5; отрицателен при x=2,3.
Проанализируем неравенство x2−5x+4(a−x)(a−x+4)⩽0 для каждого целого x⩾0, x∈/{1;4}, и пересечём с a>1−x.
Случай x=0:
4a(a+4)⩽0⇔−4⩽a⩽0.Условие a>1 — пусто.
Случай x=2:
−2(a−2)(a+2)⩽0⇔(a−2)(a+2)⩾0⇔a⩽−2 или a⩾2.С учётом a>−1: a⩾2.
Случай x=3:
−2(a−3)(a+1)⩽0⇔(a−3)(a+1)⩾0⇔a⩽−1 или a⩾3.С условием a>−2: −2<a⩽−1 или a⩾3.
Случай x=5: знаменатель положителен,
(a−5)(a−1)⩽0⇔1⩽a⩽5.Случай x=6:
(a−6)(a−2)⩽0⇔2⩽a⩽6.Случай x=7: 7<3, поэтому 7⩽a⩽3.
Случай x⩾7, общий вид: для x=N⩾7 имеем x−4⩾x, и решение N⩽a⩽N−4.
Таким образом, множества допустимых a для целочисленных x:
1. x=2: a⩾2;
2. x=3: a∈(−2;−1]∪[3;+∞);
3. x=5: a∈[1;5];
4. x=6: a∈[2;6];
5. x=N⩾7: a∈[N;N−4] (отрезки сдвигаются вправо с ростом N).
Сосчитаем число целочисленных решений для разных диапазонов a:
| Диапазон a | Решения x | Число |
|---|---|---|
| a∈(−2;−1] | {3} | 1 |
| a∈(−1;1) | ∅ | 0 |
| a∈[1;2) | {5} | 1 |
| a∈[2;3) | {2;5} | 2 |
| a∈[3;2) | {2;3;5} | 3 |
| a∈[2;5] | {2;3;5;6} | 4 |
| a∈(5;6] | {2;3;6} | 3 |
| a∈(6;7) | {2;3} | 2 |
| a∈[7;22) | {2;3;7} | 3 |
| a⩾22 | не менее 4 | ⩾4 |
При a⩽−2 из системы выпадает условие a+x>1 для всех целочисленных кандидатов — решений нет.
Итого ровно два целочисленных решения получаются при
a∈[2;3)∪(6;7).Ответ: a∈[2;3)∪(6;7).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин