Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система неравенств cases ((a - sqrt(x))*(a - x + 4))/(x^2 - 5x + 4) 0 a + x > 1 cases имеет ровно два целочисленных решения.

Система: cases ((a-sqrt(x))(a-x+4))/(x^2-5x+4) 0, a+x > 1. cases Целочисленные решения — это x in Z , x 0 (из-за sqrt(x) ), x != 1 , x != 4 (знаменатель отличен от нуля). Знаменатель x^2-5x+4 = (x-1)(x-4) : положителен при x=0 и при x 5 ; отрицателен при x=2, 3 . Проанализируем неравенство ((a-sqrt(x))(a-x+4))/(x^2-5x+4) 0 для каждого целого x 0 , x not in 1; 4 , и пересечём с a > 1-x . Случай x=0 : (a(a+4))/(4) 0 <=> -4 a 0. Условие a > 1 — пусто. Случай x=2 : ((a-sqrt(2))(a+2))/(-2) 0 <=> (a-sqrt(2))(a+2) 0 <=> a -2 или a sqrt(2). С учётом a > -1 : a sqrt(2) . Случай x=3 : ((a-sqrt(3))(a+1))/(-2) 0 <=> (a-sqrt(3))(a+1) 0 <=> a -1 или a sqrt(3). С условием a > -2 : -2 < a -1 или a sqrt(3) . Случай x=5 : знаменатель положителен, (a-sqrt(5))(a-1) 0 <=> 1 a sqrt(5). Случай x=6 : (a-sqrt(6))(a-2) 0 <=> 2 a sqrt(6). Случай x=7 : sqrt(7) < 3 , поэтому sqrt(7) a 3 . Случай x 7 , общий вид: для x=N 7 имеем x-4 sqrt(x) , и решение sqrt(N) a N-4 . Таким образом, множества допустимых a для целочисленных x : 1. x=2 : a sqrt(2) ; 2. x=3 : a in (-2; -1] U [sqrt(3); +inf) ; 3. x=5 : a in [1; sqrt(5)] ; 4. x=6 : a in [2; sqrt(6)] ; 5. x=N 7 : a in [sqrt(N); N-4] (отрезки сдвигаются вправо с ростом N ). Сосчитаем число целочисленных решений для разных диапазонов a : | Диапазон a | Решения x | Число | |---|---|---| | a in (-2; -1] | 3 | 1 | | a in (-1; 1) | | 0 | | a in [1; sqrt(2)) | 5 | 1 | | a in [sqrt(2); sqrt(3)) | 2; 5 | 2 | | a in [sqrt(3); 2) | 2; 3; 5 | 3 | | a in [2; sqrt(5)] | 2; 3; 5; 6 | 4 | | a in (sqrt(5); sqrt(6)] | 2; 3; 6 | 3 | | a in (sqrt(6); sqrt(7)) | 2; 3 | 2 | | a in [sqrt(7); 2sqrt(2)) | 2; 3; 7 | 3 | | a 2sqrt(2) | не менее 4 | 4 | При a -2 из системы выпадает условие a+x>1 для всех целочисленных кандидатов — решений нет. Итого ровно два целочисленных решения получаются при a in [sqrt(2);sqrt(3)) U (sqrt(6);sqrt(7)). Ответ: a in [sqrt(2);sqrt(3)) U (sqrt(6);sqrt(7)) .

a ∈ [√2; √3) ∪ (√6; √7)