В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC ( AD > BC ) вписана окружность с центром O . Из вершины C опущена высота CH . а) Докажите, что прямая AO является серединным перпендикуляром к отрезку BH . б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если радиус вписанной в неё окружности равен 4 , а длина отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности с боковыми сторонами, равна (64)/(15) .

а) Доказательство. Пусть a = AD , b = BC ( a > b ). В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, выполнено AB + CD = BC + AD . Так как AB = CD , получаем AB = (a + b)/(2) . Из вершины C опустим высоту CH на AD . Длина проекции: AH = AB_(пр) + BC = (a-b)/(2) + b = (a+b)/(2). Значит AH = AB . Центр O вписанной окружности лежит на биссектрисе угла A . В треугольнике ABH стороны AB и AH равны, значит он равнобедренный. Биссектриса угла A (т.е. прямая AO ) совпадает с серединным перпендикуляром к основанию BH . б) Радиус описанной окружности. Пусть r = 4 , PQ = (64)/(15) , где P, Q — точки касания вписанной окружности с боковыми сторонами AB, CD . Введём координаты с центром в O , осью симметрии — ось y . Прямые AD и BC горизонтальные на y = -r = -4 и y = r = 4 . Высота трапеции h = 2r = 8 . Тогда A = (-a/2, -4) , B = (-b/2, 4) , C = (b/2, 4) , D = (a/2, -4) . Условие r = 4 . Прямая AB : 16 x - (a-b) y + 4(a+b) = 0. Расстояние от O до неё: (4(a+b))/(sqrt(256 + (a-b)^2)) = 4 => (a+b)^2 = 256 + (a-b)^2 => 4ab = 256 => ab = 64. Длина PQ . Точка P на AB делит её в отношении AP : AB = AS : AB , где AS = a/2 (касательная из A ), AB = (a+b)/2 . Параметр t = (a/2)/((a+b)/2) = (a)/(a+b) . Координаты P : P_x = -(a)/(2) + t * (a - b)/(2) = -(ab)/(a+b), P_y = -4 + 8t = (4(a-b))/(a+b). По симметрии Q_x = (ab)/(a+b) , Q_y = P_y . Тогда PQ = (2ab)/(a+b) = (64)/(15) => a+b = (30 ab)/(64) = (30 * 64)/(64) = 30. Итак a + b = 30 , ab = 64 . Тогда a и b — корни уравнения t^2 - 30t + 64 = 0 . Описанная окружность. Центр O' = (0; y_0) . Из |O'A| = |O'B| : (a^2)/(4) + (y_0 + 4)^2 = (b^2)/(4) + (y_0 - 4)^2 => y_0 = (b^2 - a^2)/(64). Диагональ AC : |AC|^2 = ((a+b)/(2))^2 + 64 = 15^2 + 64 = 289, |AC| = 17. Для вписанного четырёхугольника: R = (AC)/(2 sin ABC). Вектор BA = ((b-a)/(2), -8) , BC = (b; 0) . |BA| = sqrt(((a-b)^2)/(4) + 64) = sqrt((644)/(4) + 64) = sqrt(161 + 64) = sqrt(225) = 15. Тогда cos ABC = (BA*BC)/(|BA||BC|) = ((b-a)b/2)/(15 * b) = (b-a)/(30). sin^2 ABC = 1 - ((a-b)^2)/(900) = 1 - (644)/(900) = (256)/(900), sin ABC = (16)/(30) = (8)/(15). Следовательно: R = (17)/(2 * 8/15) = (17 * 15)/(16) = (255)/(16). Ответ: а) прямая AO — серединный перпендикуляр к BH б) R = (255)/(16)

255/16