В четырёхугольной пирамиде ABCD дано AD = BD = CD, AB = BC = 6, ABC = 120^, DO (ABC), DO = 8. Найдите AD.

Так как AD = BD = CD и DO (ABC), точка O — проекция вершины D на плоскость основания. Из равенства боковых рёбер DA = DB = DC следует OA = OB = OC, то есть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Сторона AC. В треугольнике ABC: AB = BC = 6, ABC = 120^. По теореме косинусов AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos 120^ = 36 + 36 - 2 * 36 * (-(1)/(2)) = 108, откуда AC = 6sqrt(3). Радиус описанной окружности. По теореме синусов R = (AC)/(2sin ABC) = (6sqrt(3))/(2sin 120^) = (6sqrt(3))/(sqrt(3)) = 6. Значит OA = 6. Боковое ребро. Треугольник DOA прямоугольный с катетами DO = 8 и OA = 6: AD = sqrt(DO^2 + OA^2) = sqrt(64 + 36) = sqrt(100) = 10. Ответ: 10.

10