Задача №17251

В четырёхугольной пирамиде $ABCD$ дано $AD=BD=CD\text{,}$ $AB=BC=6\text{,}$ $\angle ABC=120^{\circ }\text{,}$ $DO\perp (ABC)\text{,}$ $DO=8\text{.}$ Найдите $AD\text{.}$

Так как $AD=BD=CD$ и $DO\perp (ABC)\text{,}$ точка $O$ — проекция вершины $D$ на плоскость основания. Из равенства боковых рёбер $DA=DB=DC$ следует $OA=OB=OC\text{,}$ то есть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$

Сторона $AC\text{.}$ В треугольнике $ABC\text{:}$ $AB=BC=6\text{,}$ $\angle ABC=120^{\circ }\text{.}$ По теореме косинусов

откуда $AC=6\sqrt{3}\text{.}$

Радиус описанной окружности. По теореме синусов

Значит $OA=6\text{.}$

Боковое ребро. Треугольник $DOA$ прямоугольный с катетами $DO=8$ и $OA=6\text{:}$

Ответ: $10\text{.}$