Задача №17250

Дано натуральное число $n\text{.}$ Обозначим через $S(n)$ сумму его цифр.

А) Существует ли такое $n\text{,}$ что $n+S(n)+S(S(n))=2026\text{?}$
Б) Существует ли такое $n\text{,}$ что $n\cdot S(n)=2025\text{?}$
В) Найдите все $n\text{,}$ для которых $n+S(n)=n^2\text{.}$

А) Пусть существует такое $n\text{.}$ Тогда $n<2026\text{.}$ Среди натуральных чисел, меньших $2026\text{,}$ наибольшая сумма цифр у $1999\text{:}$ $S(1999)=28\text{.}$ Поэтому $S(n)⩽28\text{,}$ и далее $S(S(n))⩽S(19)=10$ (наибольшая сумма цифр одно- и двухзначных чисел $⩽28$). Тогда

$$n=2026-S(n)-S(S(n))⩾2026-28-10=1988,$$

то есть $n\in [1988;2025]\text{.}$ Прямой перебор всех чисел из этого диапазона показывает, что ни для одного из них равенство $n+S(n)+S(S(n))=2026$ не выполняется.

Ответ на А): нет.

Б) $2025=3^4\cdot 5^2\text{.}$ При $n\cdot S(n)=2025$ число $n$ — делитель $2025\text{,}$ имеющий лишь простые делители $3$ и $5\text{.}$ Значит, $n=3^a\cdot 5^b$ при $a⩽4\text{,}$ $b⩽2\text{.}$

Переберём делители $2025$ и проверим $n\cdot S(n)\text{:}$

• $n=1\text{:}$ $1\cdot 1=1\text{;}$
• $n=3\text{:}$ $3\cdot 3=9\text{;}$
• $n=5\text{:}$ $5\cdot 5=25\text{;}$
• $n=9\text{:}$ $9\cdot 9=81\text{;}$
• $n=15\text{:}$ $15\cdot 6=90\text{;}$
• $n=25\text{:}$ $25\cdot 7=175\text{;}$
• $n=27\text{:}$ $27\cdot 9=243\text{;}$
• $n=45\text{:}$ $45\cdot 9=405\text{;}$
• $n=75\text{:}$ $75\cdot 12=900\text{;}$
• $n=81\text{:}$ $81\cdot 9=729\text{;}$
• $n=135\text{:}$ $135\cdot 9=1215\text{;}$
• $n=225\text{:}$ $S(225)=9\text{,}$ $225\cdot 9=2025\text{;}$
• $n=405\text{:}$ $405\cdot 9=3645>2025\text{;}$
• большие — тем более.

Ответ на Б): да, $n=225\text{.}$

В) Уравнение $n+S(n)=n^2$ перепишем в виде $S(n)=n^2-n=n(n-1)\text{.}$

Для одноцифровых $n$ ($1⩽n⩽9$): $S(n)=n\text{,}$ уравнение $n=n(n-1)$ даёт $n-1=1\text{,}$ $n=2\text{.}$ Проверка: $n+S(n)=2+2=4=2^2\text{.}$ Подходит.

Для $n⩾10\text{:}$ пусть $n$ — $k$-значное число ($k⩾2$), тогда $n⩾10^{k-1}\text{,}$ $S(n)⩽9k\text{.}$ Имеем

$$n(n-1)⩾10^{k-1}(10^{k-1}-1).$$

При $k=2\text{:}$ $n(n-1)⩾10\cdot 9=90\text{,}$ тогда как $S(n)⩽18\text{.}$ Уже $90>18\text{.}$

При $k⩾3\text{:}$ $n(n-1)⩾100\cdot 99=9900\gg 27⩾S(n)$ и далее. Итого для всех $n⩾10$ имеем $n(n-1)>S(n)\text{,}$ равенство невозможно.

Значит, единственное решение — $n=2\text{.}$

Ответ на В): $n=2\text{.}$

Ответ: А) нет; Б) да, $n=225\text{;}$ В) $n=2\text{.}$