Дано натуральное число n. Обозначим через S(n) сумму его цифр. А) Существует ли такое n, что n + S(n) + S(S(n)) = 2026? Б) Существует ли такое n, что n * S(n) = 2025? В) Найдите все n, для которых n + S(n) = n^2.

А) Пусть существует такое n. Тогда n < 2026. Среди натуральных чисел, меньших 2026, наибольшая сумма цифр у 1999: S(1999) = 28. Поэтому S(n) 28, и далее S(S(n)) S(19) = 10 (наибольшая сумма цифр одно- и двухзначных чисел 28). Тогда n = 2026 - S(n) - S(S(n)) 2026 - 28 - 10 = 1988, то есть n in [1988;2025]. Прямой перебор всех чисел из этого диапазона показывает, что ни для одного из них равенство n + S(n) + S(S(n)) = 2026 не выполняется. Ответ на А): нет. Б) 2025 = 3^4 * 5^2. При n * S(n) = 2025 число n — делитель 2025, имеющий лишь простые делители 3 и 5. Значит, n = 3^a * 5^b при a 4, b 2. Переберём делители 2025 и проверим n * S(n): - n = 1: 1 * 1 = 1; - n = 3: 3 * 3 = 9; - n = 5: 5 * 5 = 25; - n = 9: 9 * 9 = 81; - n = 15: 15 * 6 = 90; - n = 25: 25 * 7 = 175; - n = 27: 27 * 9 = 243; - n = 45: 45 * 9 = 405; - n = 75: 75 * 12 = 900; - n = 81: 81 * 9 = 729; - n = 135: 135 * 9 = 1215; - n = 225: S(225) = 9, 225 * 9 = 2025; - n = 405: 405 * 9 = 3645 > 2025; - большие — тем более. Ответ на Б): да, n = 225. В) Уравнение n + S(n) = n^2 перепишем в виде S(n) = n^2 - n = n(n-1). Для одноцифровых n (1 n 9): S(n) = n, уравнение n = n(n-1) даёт n - 1 = 1, n = 2. Проверка: n + S(n) = 2 + 2 = 4 = 2^2. Подходит. Для n 10: пусть n — k-значное число (k 2), тогда n 10^(k-1), S(n) 9k. Имеем n(n-1) 10^(k-1)(10^(k-1) - 1). При k = 2: n(n-1) 10 * 9 = 90, тогда как S(n) 18. Уже 90 > 18. При k 3: n(n-1) 100 * 99 = 9900 27 S(n) и далее. Итого для всех n 10 имеем n(n-1) > S(n), равенство невозможно. Значит, единственное решение — n = 2. Ответ на В): n = 2. Ответ: А) нет; Б) да, n = 225; В) n = 2.

А) нет; Б) да, $n = 225$; В) $n = 2$.