Задача №17249

Даны три вектора $\vec{a}\text{,}$ $\vec{b}$ и $\vec{c}\text{,}$ сумма которых равна нулевому вектору: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\text{.}$ Длины этих векторов равны $|\vec{a}|=3\text{,}$ $|\vec{b}|=5\text{,}$ $|\vec{c}|=6\text{.}$ Найдите значение суммы их попарных скалярных произведений $\vec{a}\vec{b}+\vec{b}\vec{c}+\vec{c}\vec{a}\text{.}$

По условию $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\text{.}$ Возведём в квадрат:

Раскрываем:

Подставляем длины, обозначив $S=\vec{a}\vec{b}+\vec{b}\vec{c}+\vec{c}\vec{a}\text{:}$

Ответ: $\vec{a}\vec{b}+\vec{b}\vec{c}+\vec{c}\vec{a}=-35\text{.}$