Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
А) Решите уравнение
sin2x+2cosx−2cos3x=0.
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
[−π; −6π].
А) Уравнение sin2x+2cosx−2cos3x=0.
Заметим, что 2cosx−2cos3x=2cosx(1−cos2x)=2cosxsin2x. Тогда уравнение принимает вид
2sinxcosx+2cosxsin2x=0,ОДЗ: 2cosxsin2x⩾0⇔cosx⩾0 или sinx=0.Перепишем как 2sinxcosx=−∣sinx∣2cosx.
Случай 1. sinx=0. Тогда левая часть равна 0, подкоренное выражение 0, уравнение выполнено. Корни: x=πn, n∈Z.
Случай 2. cosx=0. Тогда sin2x=0 и подкоренное выражение 0. Корни: x=2π+πn, n∈Z.
Случай 3. sinx=0 и cosx>0. Тогда необходимо sin2x⩽0. Возведём в квадрат:
sin22x=2cosxsin2x,4sin2xcos2x=2cosxsin2x, 2sin2xcosx(2cosx−1)=0.При sinx=0, cosx=0 получаем cosx=21, то есть x=±3π+2πk. Условие sin2x⩽0: при x=3π+2πk значение sin2x=sin32π>0 — не подходит. При x=−3π+2πk: sin2x=sin(−32π)<0 — подходит. Проверка прямой подстановкой подтверждает корень.
Объединяя случаи 1 и 2: x=2πn, n∈Z.
Общий ответ А): x=2πn, n∈Z;x=−3π+2πk, k∈Z.
Б) Отбор корней на [−π;−6π].
Из серии 2πn:
1. n=−2⇒x=−π — входит.
2. n=−1⇒x=−2π — входит.
3. Другие n дают точки вне отрезка.
Из серии −3π+2πk:
1. k=0⇒x=−3π - входит (−π<−3π<−6π).
2. Другие k дают точки вне отрезка.
Ответ:
а) x=2πn, n∈Z;x=−3π+2πk, k∈Z
б) −π, −2π, −3π