А) Решите уравнение sin 2x + sqrt(2cos x - 2cos^3 x) = 0 . Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-pi; -(pi)/(6)] .

А) Уравнение sin 2x+sqrt(2cos x-2cos^3 x)=0 . Заметим, что 2cos x-2cos^3 x=2cos x(1-cos^2 x)=2cos xsin^2 x . Тогда уравнение принимает вид 2sin xcos x+sqrt(2cos xsin^2 x)=0, ОДЗ: 2cos xsin^2 x 0<=>cos x 0 или sin x=0. Перепишем как 2sin xcos x=-|sin x|sqrt(2cos x) . Случай 1. sin x=0 . Тогда левая часть равна 0 , подкоренное выражение 0 , уравнение выполнено. Корни: x=pi n, ninZ . Случай 2. cos x=0 . Тогда sin 2x=0 и подкоренное выражение 0 . Корни: x=(pi)/(2)+pi n, ninZ . Случай 3. sin x!= 0 и cos x>0 . Тогда необходимо sin 2x 0 . Возведём в квадрат: sin^2 2x=2cos xsin^2 x, 4sin^2 xcos^2 x=2cos xsin^2 x, 2sin^2 xcos x(2cos x-1)=0. При sin x!= 0, cos x!= 0 получаем cos x=(1)/(2) , то есть x=+-(pi)/(3)+2pi k . Условие sin 2x 0 : при x=(pi)/(3)+2pi k значение sin 2x=sin(2pi)/(3)>0 — не подходит. При x=-(pi)/(3)+2pi k : sin 2x=sin(-(2pi)/(3))<0 — подходит. Проверка прямой подстановкой подтверждает корень. Объединяя случаи 1 и 2: x=(pi n)/(2), ninZ . Общий ответ А): x=(pi n)/(2), ninZ; x=-(pi)/(3)+2pi k, kinZ . Б) Отбор корней на [-pi;-(pi)/(6)] . Из серии (pi n)/(2) : 1. n=-2=> x=-pi — входит. 2. n=-1=> x=-(pi)/(2) — входит. 3. Другие n дают точки вне отрезка. Из серии -(pi)/(3)+2pi k : 1. k=0=> x=-(pi)/(3) — входит ( -pi<-(pi)/(3)<-(pi)/(6) ). 2. Другие k дают точки вне отрезка. Ответ: а) x=(pi n)/(2), ninZ; x=-(pi)/(3)+2pi k, kinZ б) -pi, -(pi)/(2), -(pi)/(3)

А) x = πn/2, n ∈ Z; x = -π/3 + 2πk, k ∈ Z. Б) -π; -π/2; -π/3.