Задача №17245

В правильной четырёхугольной призме $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ сторона основания $AB=6\text{,}$ а боковое ребро $A{A}_1=8\text{.}$ На рёбрах $AB$ и $BC$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $AP=2\text{,}$ $CQ=2\text{.}$ Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $PQ$ параллельно диагонали призмы $B{D}_1\text{.}$

А) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $D{D}_1$ в отношении $2:1\text{,}$ считая от вершины $D\text{.}$

Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $\alpha \text{.}$

Введём систему координат: $A(0,0,0)\text{,}$ $B(6,0,0)\text{,}$ $C(6,6,0)\text{,}$ $D(0,6,0)\text{,}$ $A_1(0,0,8)\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1\text{,}$ $D_1(0,6,8)\text{.}$
Точка $P$ на $AB\text{,}$ $AP=2\text{:}$ $P(2,0,0)\text{.}$ Точка $Q$ на $BC\text{,}$ $CQ=2\text{:}$ $Q(6,4,0)\text{.}$

Диагональ $\overrightarrow{B{D}_1}=(-6,6,8)\text{.}$ Направление $\overrightarrow{PQ}=(4,4,0)\text{.}$

Нормаль плоскости $\alpha \text{:}$

$$\vec{n}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{B{D}_1}=(32,-32,48)\parallel (2,-2,3).$$

Уравнение плоскости: $2(x-2)-2y+3z=0\text{,}$ то есть $2x-2y+3z=4\text{.}$

А) Докажем, что плоскость $\alpha$ делит ребро $D{D}_1$ в отношении $2:1\text{.}$

Прямая $D{D}_1\text{:}$ $x=0\text{,}$ $y=6\text{,}$ $z=t\text{,}$ $t\in [0;8]\text{.}$ Подставляем в уравнение плоскости:

$$-12+3t=4\Rightarrow t=\frac{16}{3}.$$

Пусть точка пересечения $R\text{,}$ тогда $DR=\frac{16}{3}\text{,}$ $R{D}_1=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}\text{.}$

$$DR:R{D}_1=\frac{16}{3}:\frac{8}{3}=2:1.$$

Что и требовалось доказать.

Б) Найдём площадь сечения.

Найдём все точки пересечения плоскости с рёбрами призмы:

• $P(2,0,0)$ — на $AB\text{.}$
• $Q(6,4,0)$ — на $BC\text{.}$
• На ребре $C{C}_1$ ($x=6\text{,}$ $y=6$): $12-12+3z=4\Rightarrow z=\frac{4}{3}\text{,}$ точка $S\left(6,6,\frac{4}{3}\right)\text{.}$
• $R\left(0,6,\frac{16}{3}\right)$ — на $D{D}_1\text{.}$
• На ребре $A{A}_1$ ($x=0\text{,}$ $y=0$): $3z=4\Rightarrow z=\frac{4}{3}\text{,}$ точка $T\left(0,0,\frac{4}{3}\right)\text{.}$

Сечение — пятиугольник $P\to Q\to S\to R\to T\to P\text{.}$

Метод проекции. Проекция на плоскость $z=0$ — пятиугольник $P^{\prime }(2,0)\text{,}$ $Q^{\prime }(6,4)\text{,}$ $S^{\prime }(6,6)\text{,}$ $R^{\prime }(0,6)\text{,}$ $T^{\prime }(0,0)\text{.}$

Площадь проекции по формуле «shoelace»:

$$S_{\text{проекц}}=\frac{1}{2}\left|2(4-0)+6(6-0)+6(6-4)+0(0-6)+0(0-6)\right|=\frac{1}{2}\cdot 56=28.$$

Косинус угла между плоскостью $\alpha$ и $z=0\text{:}$ $\cos \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{4+4+9}}=\frac{3}{\sqrt{17}}\text{.}$

Площадь сечения: $S=\frac{S_{\text{проекц}}}{\cos \phi }=\frac{28\sqrt{17}}{3}\text{.}$

Ответ Б: $\frac{28\sqrt{17}}{3}\text{.}$