В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания AB=6, а боковое ребро AA_1=8. На рёбрах AB и BC отмечены точки P и Q соответственно так, что AP=2, CQ=2. Плоскость alpha проходит через прямую PQ параллельно диагонали призмы BD_1. А) Докажите, что плоскость alpha делит ребро DD_1 в отношении 2:1, считая от вершины D. Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью alpha.

Введём систему координат: A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), A_1(0,0,8), B_1, C_1, D_1(0,6,8). Точка P на AB, AP=2: P(2,0,0). Точка Q на BC, CQ=2: Q(6,4,0). Диагональ BD_1 = (-6,6,8). Направление PQ = (4,4,0). Нормаль плоскости alpha: n = PQ * BD_1 = (32, -32, 48) (2, -2, 3). Уравнение плоскости: 2(x-2) - 2y + 3z = 0, то есть 2x - 2y + 3z = 4. А) Докажем, что плоскость alpha делит ребро DD_1 в отношении 2:1. Прямая DD_1: x=0, y=6, z=t, tin[0;8]. Подставляем в уравнение плоскости: -12 + 3t = 4 => t = (16)/(3). Пусть точка пересечения R, тогда DR = (16)/(3), RD_1 = 8 - (16)/(3) = (8)/(3). DR : RD_1 = (16)/(3) : (8)/(3) = 2 : 1. Что и требовалось доказать. Б) Найдём площадь сечения. Найдём все точки пересечения плоскости с рёбрами призмы: - P(2,0,0) — на AB. - Q(6,4,0) — на BC. - На ребре CC_1 (x=6, y=6): 12-12+3z=4 => z = (4)/(3), точка S(6,6,(4)/(3)). - R(0,6,(16)/(3)) — на DD_1. - На ребре AA_1 (x=0, y=0): 3z=4 => z = (4)/(3), точка T(0,0,(4)/(3)). Сечение — пятиугольник P Q S R T P. Метод проекции. Проекция на плоскость z=0 — пятиугольник P'(2,0), Q'(6,4), S'(6,6), R'(0,6), T'(0,0). Площадь проекции по формуле «shoelace»: S_(проекц) = (1)/(2)|2(4-0) + 6(6-0) + 6(6-4) + 0(0-6) + 0(0-6)| = (1)/(2)* 56 = 28. Косинус угла между плоскостью alpha и z=0: cos = (|n* k|)/(|n|) = (3)/(sqrt(4+4+9)) = (3)/(sqrt(17)). Площадь сечения: S = (S_(проекц))/(cos) = (28sqrt(17))/(3). Ответ Б: (28sqrt(17))/(3).

28√17/3