Задача №17243

а) Решите уравнение
$8({\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x)=\sqrt{3}\sin 4x+5\text{.}$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{2\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Преобразуем ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x\text{:}$

Подставляем в уравнение:

Используем ${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}\text{:}$

Отсюда:

б) Ищем $k$ такие, что $\frac{2\pi }{3}⩽\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{4}⩽\frac{3\pi }{2}\text{.}$

Домножим на $\frac{12}{\pi }\text{:}$

Находим корни:

$k=3\text{:}$ $x=\frac{\pi }{12}+\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi +9\pi }{12}=\frac{5\pi }{6}\text{.}$

$k=4\text{:}$ $x=\frac{\pi }{12}+\pi =\frac{13\pi }{12}\text{.}$

$k=5\text{:}$ $x=\frac{\pi }{12}+\frac{5\pi }{4}=\frac{\pi +15\pi }{12}=\frac{4\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{4},k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{5\pi }{6};\frac{13\pi }{12};\frac{4\pi }{3}$