а) Решите уравнение 8(sin^6 x + cos^6 x) = sqrt(3)sin 4x + 5 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(2pi)/(3);(3pi)/(2)] .

а) Преобразуем sin^6 x + cos^6 x : sin^6 x + cos^6 x = (sin^2 x + cos^2 x)^3 - 3sin^2 x cos^2 x (sin^2 x + cos^2 x) = 1 - 3sin^2 x cos^2 x = 1 - (3)/(4)sin^2 2x. Подставляем в уравнение: 8(1 - (3)/(4)sin^2 2x) = sqrt(3)sin 4x + 5, 8 - 6sin^2 2x = sqrt(3)sin 4x + 5. Используем sin^2 2x = (1 - cos 4x)/(2) : 8 - 3(1 - cos 4x) = sqrt(3)sin 4x + 5, 5 + 3cos 4x = sqrt(3)sin 4x + 5, 3cos 4x = sqrt(3)sin 4x => tg 4x = sqrt(3). Отсюда: 4x = (pi)/(3) + pi k, k in Z, x = (pi)/(12) + (pi k)/(4), k in Z. б) Ищем k такие, что (2pi)/(3) (pi)/(12) + (pi k)/(4) (3pi)/(2) . Домножим на (12)/(pi) : 8 1 + 3k 18 => 7 3k 17 => k in 3,4,5. Находим корни: k = 3 : x = (pi)/(12) + (3pi)/(4) = (pi + 9pi)/(12) = (5pi)/(6) . k = 4 : x = (pi)/(12) + pi = (13pi)/(12) . k = 5 : x = (pi)/(12) + (5pi)/(4) = (pi + 15pi)/(12) = (4pi)/(3) . Ответ: а) x = (pi)/(12) + (pi k)/(4), k in Z б) (5pi)/(6); (13pi)/(12); (4pi)/(3)

А) x = π/12 + πk/4, k ∈ Z; Б) 5π/6; 13π/12; 4π/3